Expresse
na forma
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para expressar
na forma
, onde
. Para isso, vamos usar conhecimentos de números complexos, especificamente a forma polar e o Teorema de De Moivre. Você vai precisar entender como converter um número complexo da forma cartesiana para a forma polar e depois aplicar a potência.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o número complexo
na forma polar
. Para isso, precisamos encontrar o módulo
e o argumento
.
Passo 3
O módulo
é calculado pela fórmula:
onde
é a parte real e
é a parte imaginária de
. No nosso caso:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento
. Sabemos que:
Substituindo os valores:
O ângulo cujo tangente é
é
. Porém, como
e
são negativos, o número está no terceiro quadrante. Portanto:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos escrever
na forma polar:
Passo 6
Para elevar
à oitava potência, usamos o Teorema de De Moivre, que diz que:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 7
Precisamos ajustar o ângulo
para que fique no intervalo
. Sabemos que:
Como
é equivalente a
no círculo trigonométrico (já que completa 5 voltas completas), restamos:
Resposta
Então,
na forma
é: