Expresse (-1 - raiz(3) * i)^8 na forma z = R * e^(i * theta) onde 0 <= theta < 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para expressar (-1 - raiz(3) * i)^8 na forma z = R * e^(i * theta), onde . Para isso, vamos usar conhecimentos de números complexos, especificamente a forma polar e o Teorema de De Moivre. Você vai precisar entender como converter um número complexo da forma cartesiana para a forma polar e depois aplicar a potência.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o número complexo na forma polar . Para isso, precisamos encontrar o módulo R e o argumento theta.

Passo 3

O módulo R é calculado pela fórmula:
onde a é a parte real e b é a parte imaginária de z. No nosso caso:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento theta. Sabemos que:
Substituindo os valores:
O ângulo cujo tangente é raiz(3) é pi / 3. Porém, como a e b são negativos, o número está no terceiro quadrante. Portanto:

Passo 5

Agora que temos e , podemos escrever z na forma polar:

Passo 6

Para elevar z à oitava potência, usamos o Teorema de De Moivre, que diz que:
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 7

Precisamos ajustar o ângulo para que fique no intervalo . Sabemos que:
Como é equivalente a 0 no círculo trigonométrico (já que completa 5 voltas completas), restamos:

Resposta

Então, (-1 - raiz(3) * i)^8 na forma z = R * e^(i * theta) é:

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