Encontre todas as retas assíntotas horizontais e verticais das funçōes a seguir:
(b) f(x)=ln (x+1)-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as assíntotas horizontais e verticais da função f(x) = ln(x + 1) - 1 .
Conteúdo envolvido: Vamos trabalhar com assíntotas de funções, especificamente para funções logarítmicas. Uma assíntota vertical é uma reta que a função se aproxima quando x se aproxima de um certo valor, geralmente onde a função não está definida. Já a assíntota horizontal é uma reta que a função se aproxima quando x vai para +infty ou -infty .
Para resolver, vamos precisar entender como a função logarítmica se comporta e identificar os pontos onde ela pode ter essas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a assíntota vertical. Funções logarítmicas, como ln(x) , têm uma assíntota vertical onde o argumento do logaritmo é zero, porque o logaritmo de zero não está definido e tende a menos infinito.
Na nossa função f(x) = ln(x + 1) - 1 , o argumento do logaritmo é x + 1 . Então, para encontrar onde o logaritmo não está definido:
x + 1 = 0
x = -1
Isso significa que há uma assíntota vertical em x = -1 .

Passo 3

Agora, vamos verificar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando x tende para +infty e -infty .
  • Quando x tende para +infty :
f(x) = ln(x + 1) - 1
À medida que x cresce, ln(x + 1) também cresce sem limites, ou seja, tende para +infty . Então:
limx to +infty f(x) = +infty
Isso indica que a função não se aproxima de nenhum valor fixo nesse sentido, ou seja, não há assíntota horizontal quando x vai para +infty .
  • Quando x tende para -infty :
Para a nossa função, na verdade, x não pode ir para -infty porque x + 1 precisa ser maior que zero para o logaritmo estar definido. Assim, o menor valor que x pode assumir é ligeiramente maior que -1 .
Quando x se aproxima de -1 pela direita ( x to -1^+ ):
f(x) = ln(x + 1) - 1
Aqui, ln(x + 1) tende para -infty , então:
limx to -1^+ f(x) = -infty
Isso reforça a presença da assíntota vertical em x = -1 , mas não cria nenhuma assíntota horizontal.

Resposta

A função f(x) = ln(x + 1) - 1 possui uma assíntota vertical em x = -1 e não possui assíntotas horizontais.

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