Encontre todas as retas assíntotas horizontais e verticais das funçōes a seguir:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as assíntotas horizontais e verticais da função
.
Conteúdo envolvido: Vamos trabalhar com assíntotas de funções, especificamente para funções logarítmicas. Uma assíntota vertical é uma reta que a função se aproxima quando
se aproxima de um certo valor, geralmente onde a função não está definida. Já a assíntota horizontal é uma reta que a função se aproxima quando
vai para
ou
.
Para resolver, vamos precisar entender como a função logarítmica se comporta e identificar os pontos onde ela pode ter essas assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a assíntota vertical. Funções logarítmicas, como
, têm uma assíntota vertical onde o argumento do logaritmo é zero, porque o logaritmo de zero não está definido e tende a menos infinito.
Na nossa função
, o argumento do logaritmo é
. Então, para encontrar onde o logaritmo não está definido:
Isso significa que há uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando
tende para
e
.
- Quando
tende para :
À medida que
cresce,
também cresce sem limites, ou seja, tende para
. Então:
Isso indica que a função não se aproxima de nenhum valor fixo nesse sentido, ou seja, não há assíntota horizontal quando
vai para
.
- Quando
tende para :
Para a nossa função, na verdade,
não pode ir para
porque
precisa ser maior que zero para o logaritmo estar definido. Assim, o menor valor que
pode assumir é ligeiramente maior que
.
Quando
se aproxima de
pela direita (
):
Aqui,
tende para
, então:
Isso reforça a presença da assíntota vertical em
, mas não cria nenhuma assíntota horizontal.
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
e não possui assíntotas horizontais.