Para t>0, reduza à forma padrão, encontre o fator integrante e resolva o PVI:
t y^{\prime}+(1+t) y=t^{2}, \quad y(1)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
t\,y' + (1+t)\,y = t^2,\quad y(1)=0,\;t>0.
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Nosso objetivo é escrever na forma padrão
y' + p(t)\,y = g(t),
identificar o fator integrante e, em seguida, impor a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Dividindo toda a equação por t (válido para t>0), obtemos a forma padrão:
y' + \frac{1+t}{t}\,y = t.
Aqui p(t)=\tfrac{1+t}{t} e g(t)=t.

Passo 3

O fator integrante \mu(t) satisfaz
\mu(t)=\exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) =\exp\!\Bigl(\int\bigl(\tfrac1t+1\bigr)\,dt\Bigr) =\exp(\ln t + t) = t\,e^t.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(t)=t e^t, temos
t e^t\,y' + t e^t\cdot\frac{1+t}{t}\,y = t^2 e^t \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(t e^t\,y\bigr)=t^2 e^t.

Passo 5

Integrando em ambos os lados:
t e^t\,y = \int t^2 e^t\,dt.
Para calcular \displaystyle\int t^2 e^t\,dt, usamos duas vezes integração por partes e obtemos
\int t^2 e^t\,dt = e^t\bigl(t^2-2t+2\bigr)+C.
Logo
t e^t\,y = e^t\bigl(t^2-2t+2\bigr)+C.

Passo 6

Isolando y:
y = \frac{e^t\bigl(t^2-2t+2\bigr)+C}{t e^t} = \frac{t^2-2t+2}{t} + \frac{C}{t e^t} = t -2 + \frac{2}{t} + \frac{C}{t e^t}.

Passo 7

Impondo a condição y(1)=0:
0 = y(1) = 1 - 2 + 2 + \frac{C}{1\cdot e^1} = 1 + \frac{C}{e} \quad\Longrightarrow\quad \frac{C}{e} = -1 \quad\Longrightarrow\quad C = -e.

Passo 8

Substituindo C=-e em y(t):
y(t) = t -2 + \frac{2}{t} - \frac{e}{t e^t} = t -2 + \frac{2}{t} - \frac{e^{1-t}}{t}.

Resposta

\boxed{y(t) = t - 2 + \frac{2}{t} \;-\;\frac{e^{1-t}}{t},\quad t>0.}

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