Resolva o PVI por separação de variáveis e forneça a solução explícita y(x) :
\frac{d y}{d x}=\frac{x e^{x^{2}}}{1+y^{2}}, \quad y(0)=0
Indique o maior intervalo de validade que contém x=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx}=\frac{x\,e^{x^2}}{1+y^2},\qquad y(0)=0
por separação de variáveis e dar a solução explícita y(x), além de indicar o maior intervalo de validade contendo x=0.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
(1+y^2)\,dy = x\,e^{x^2}\,dx
e integre ambos os lados:
\int(1+y^2)\,dy = \int x\,e^{x^2}\,dx.

Passo 3

Calcule as integrais:
\int(1+y^2)\,dy = y + \frac{y^3}{3}, \qquad \int x\,e^{x^2}\,dx = \frac{e^{x^2}}{2}.
Logo a solução geral implícita é
y + \frac{y^3}{3} = \frac{e^{x^2}}{2} + C.
Usando y(0)=0 obtemos
0 + 0 = \frac{e^0}{2} + C \quad\Longrightarrow\quad C=-\tfrac12,
portanto
y + \frac{y^3}{3} = \frac{e^{x^2}-1}{2}.

Passo 4

Para isolar y note que multiplicando por 3 temos a cúbica deprimida
y^3 + 3y - \frac{3\,(e^{x^2}-1)}{2} = 0.
Aplicando a fórmula de Cardano, defina
\Delta = \frac{9\,(e^{x^2}-1)^2}{16} + 1,
então a única raiz real é
y(x) = \sqrt[3]{\frac{3\,(e^{x^2}-1)}{4} + \sqrt{\Delta}} + \sqrt[3]{\frac{3\,(e^{x^2}-1)}{4} - \sqrt{\Delta}}.

Passo 5

A expressão acima está bem definida para todo x\in\mathbb{R}, pois e^{x^2} é contínua e estritamente positiva, e a função y\mapsto y+y^3/3 é estritamente crescente em \mathbb{R}. Logo o maior intervalo de validade que contém 0 é
(-\infty,\infty).

Resposta

\displaystyle y(x) =\sqrt[3]{\frac{3(e^{x^2}-1)}{4} + \sqrt{\frac{9(e^{x^2}-1)^2}{16}+1}} \;+\; \sqrt[3]{\frac{3(e^{x^2}-1)}{4} - \sqrt{\frac{9(e^{x^2}-1)^2}{16}+1}},
intervalo de validade: (-\infty,\infty).

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