Encontre todas as soluções da EDO. y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+16 y=0
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem
y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=0.
O que o problema pede: encontrar todas as soluções (a solução geral) dessa EDO.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{o EDO é linear, homogênea e tem coeficientes constantes: }1,\;8,\;16.
Não há condições iniciais fornecidas, então queremos a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Método padrão (tentativa direta): procurar soluções da forma
y(x)=e^{rx},
onde r é um número a determinar. Explicação curta do porquê: exponenciais e^{rx} transformam derivadas em multiplicação por r, o que reduz a EDO a uma equação algébrica (isso funciona bem para coeficientes constantes). Calculamos as derivadas:
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^{2} e^{rx}.
Substituindo na EDO obtemos
r^{2}e^{rx}+8r e^{rx}+16 e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e ficar com a equação característica
r^{2}+8r+16=0.
Passo 3
Resolver a equação característica \;r^{2}+8r+16=0\;. Vamos calcular o discriminante:
Como \Delta=0, a equação tem uma raiz real dupla. A raiz é
r = \frac{-b}{2a} = \frac{-8}{2}= -4.
Logo r=-4 é raiz de multiplicidade 2.
Passo 4
Consequência da raiz dupla: quando a equação característica tem uma raiz real de multiplicidade 2, digamos r, as duas soluções linearmente independentes da EDO são
y_{1}(x)=e^{rx},\qquad y_{2}(x)=x e^{rx}.
Explicação intuitiva: o primeiro é a solução óbvia; o segundo aparece multiplicando por x para garantir independência linear quando a raiz é repetida. Aqui r=-4, então sugerimos as soluções candidatas y_{1}(x)=e^{-4x} e y_{2}(x)=x e^{-4x}.
Passo 5
Verificação direta de y_{2}(x)=x e^{-4x} (para aprender a checar na prova): calculemos as derivadas e substituamos na EDO para conferir que dá zero.
Portanto a soma é zero, logo y_{2} é realmente solução. Bom hábito: sempre verificar a segunda solução quando a raiz é repetida.
Passo 6
Verificação de independência linear (para justificar que temos duas soluções independentes): calcular o Wronskiano de y_{1} e y_{2}:
W(y_{1},y_{2})(x)=\begin{vmatrix} e^{-4x} & x e^{-4x} \\\\ -4 e^{-4x} & (1-4x)e^{-4x} \end{vmatrix} = e^{-8x}\bigl(1-4x+4x\bigr)=e^{-8x}\neq 0\\ \text{para todo }x.
Como o Wronskiano é não nulo, as soluções são linearmente independentes.
Passo 7
Conclusão (montando a solução geral): por serem duas soluções linearmente independentes, a solução geral da EDO é combinação linear delas com constantes arbitrárias C_{1} e C_{2}:
y(x)=C_{1}e^{-4x}+C_{2}x e^{-4x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais (ou complexas, se estivermos trabalhando nesse campo).