Encontre todas as soluções da EDO.
y^{\prime \prime}+3 y=-48 x^{2} e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções da EDO
y^{\prime\prime}+3y=-48x^{2}e^{3x}.
Informações relevantes do enunciado:
\;- É uma equação diferencial linear de segunda ordem, não homogênea, com coeficientes constantes.
\;- O termo não-homogêneo (lado direito) é -48x^{2}e^{3x}, que é um polinômio em x (grau 2) multiplicado por uma exponencial e^{3x}.
\;- O que se pede: encontrar a solução geral y(x), ou seja, todas as soluções da EDO.

Passo 2

Raciocínio estratégico (o que vamos fazer e por quê):
\;- Para equações lineares de segunda ordem com termo não-homogêneo, a solução geral é soma da solução da homogênea (solução complementar) e de uma solução particular:
y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x).
\;- Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada
y^{\prime\prime}+3y=0
para obter y_c. Depois usamos o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients) para encontrar uma y_p adequada ao formato do lado direito -48x^{2}e^{3x}. Vou explicar passo a passo o porquê das escolhas.

Passo 3

Resolver a homogênea: escrever a equação característica.
\;- Para y^{\prime\prime}+3y=0 assume-se solução y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+3=0.
\;- As raízes são
r=\pm i\sqrt{3}.
Quando as raízes são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta com \alpha=0 e \beta=\sqrt{3}, a solução geral da homogênea é
y_{c}(x)=C_{1}\cos\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Explicação curta: exponenciais complexas geram combinações reais em cosseno e seno.)

Passo 4

Escolher o formato de y_{p} (método dos coeficientes a determinar) e checar ressonância.
\;- O lado direito é -48x^{2}e^{3x}. Para termos da forma P(x)e^{\lambda x} (com P polinômio), a tentativa padrão é
y_{p}(x)=e^{\lambda x}Q(x),
onde Q(x) é um polinômio de mesmo grau que P(x), salvo se \lambda for raiz da equação característica — aí multiplicamos por potências de x.
\;- Aqui \lambda=3. A equação característica tem raízes \pm i\sqrt{3}, que não são 3. Logo não há ressonância: não precisamos multiplicar por x.
\;- Como P(x) tem grau 2, escolhemos
y_{p}(x)=e^{3x}\bigl(Ax^{2}+Bx+C\bigr),
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 5

Derivar y_{p} e montar y_{p}^{\prime\prime}+3y_{p}.
Defina p(x)=Ax^{2}+Bx+C. Então
y_{p}(x)=e^{3x}p(x).
Calcule as derivadas usando regra do produto:
p'(x)=2Ax+B,\qquad p''(x)=2A.
Agora
y_{p}'= \bigl(e^{3x}p(x)\bigr)'=e^{3x}(3p+p'),
e
y_{p}''=\bigl(e^{3x}(3p+p')\bigr)'=e^{3x}\bigl(9p+6p'+p''\bigr).
(Explicação: derivar e^{3x}p(x) 3e^{3x}p+e^{3x}p'; derivar de novo aplica produto outra vez.)

Passo 6

Substituir em y''+3y e simplificar.
\;- Temos
y_{p}''+3y_{p}=e^{3x}\bigl(9p+6p'+p''\bigr)+3e^{3x}p=e^{3x}\bigl(12p+6p'+p''\bigr).
\;- A equação diferencial exige y_{p}''+3y_{p}=-48x^{2}e^{3x}. Dividindo por e^{3x} (que nunca é zero) obtemos a identidade polinomial
12p(x)+6p'(x)+p''(x)=-48x^{2}.

Passo 7

Expandir o lado esquerdo em termos de A,B,C e igualar coeficientes.
\;- Escrevendo p(x)=Ax^{2}+Bx+C, p'(x)=2Ax+B, p''(x)=2A. Então
12p+6p'+p''=12(Ax^{2}+Bx+C)+6(2Ax+B)+2A.
Calcule cada termo:
12(Ax^{2}+Bx+C)=12A x^{2}+12B x+12C,
6(2Ax+B)=12A x+6B,
2A=2A.
Somando:
12A x^{2} + (12B x +12A x) + (12C+6B+2A).
Agrupando coeficientes por potência de x:
\bigl(12A\bigr)x^{2} + \bigl(12A+12B\bigr)x + \bigl(12C+6B+2A\bigr).
Isso deve ser igual a -48x^{2}+0x+0. Igualando coeficientes, obtemos o sistema:
12A=-48,
12A+12B=0,
12C+6B+2A=0.

Passo 8

Resolver o sistema para A,B,C.
\;- Da primeira equação,
A=\frac{-48}{12}=-4.
\;- Da segunda:
12(-4)+12B=0 \quad\Rightarrow\quad -48+12B=0 \quad\Rightarrow\quad B=4.
\;- Da terceira:
12C+6B+2A=0 \quad\Rightarrow\quad 12C+6\cdot 4+2\cdot(-4)=0.
Calcule os números: 6\cdot 4=24, 2\cdot(-4)=-8. Então
12C+24-8=0 \quad\Rightarrow\quad 12C+16=0 \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{16}{12}=-\frac{4}{3}.

Passo 9

Escrever y_{p} e a solução geral.
\;- Com A=-4, B=4, C=-\tfrac{4}{3}, o polinômio é
p(x)=-4x^{2}+4x-\frac{4}{3}.
Logo a solução particular é
y_{p}(x)=e^{3x}\Bigl(-4x^{2}+4x-\frac{4}{3}\Bigr).
\;- A solução geral da EDO é a soma
y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)=C_{1}\cos\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+e^{3x}\Bigl(-4x^{2}+4x-\frac{4}{3}\Bigr).
(Parabéns — chegamos à solução geral! Se a prova pedir somente uma solução particular, pode apresentar só y_p.)

Resposta

y(x)=C_{1}\cos\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+e^{3x}\Bigl(-4x^{2}+4x-\dfrac{4}{3}\Bigr)

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