Encontre todas as soluções da EDO.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as soluções da EDO
Informações relevantes do enunciado:
É uma equação diferencial linear de segunda ordem, não homogênea, com coeficientes constantes.
O termo não-homogêneo (lado direito) é
, que é um polinômio em
(grau 2) multiplicado por uma exponencial
.
O que se pede: encontrar a solução geral
, ou seja, todas as soluções da EDO.
Passo 2
Raciocínio estratégico (o que vamos fazer e por quê):
Para equações lineares de segunda ordem com termo não-homogêneo, a solução geral é soma da solução da homogênea (solução complementar) e de uma solução particular:
para obter
. Depois usamos o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients) para encontrar uma
adequada ao formato do lado direito
. Vou explicar passo a passo o porquê das escolhas.
Passo 3
Resolver a homogênea: escrever a equação característica.
Para
assume-se solução
. Substituindo obtemos a equação característica
Quando as raízes são complexas conjugadas
com
e
, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Explicação curta: exponenciais complexas geram combinações reais em cosseno e seno.)
Passo 4
Escolher o formato de
(método dos coeficientes a determinar) e checar ressonância.
O lado direito é
. Para termos da forma
(com
polinômio), a tentativa padrão é
onde
é um polinômio de mesmo grau que
, salvo se
for raiz da equação característica — aí multiplicamos por potências de
.
Aqui
. A equação característica tem raízes
, que não são
. Logo não há ressonância: não precisamos multiplicar por
.
Como
tem grau
, escolhemos
onde
são constantes a determinar.
Passo 5
Derivar
e montar
.
Defina . Então
Defina
Calcule as derivadas usando regra do produto:
Agora
e
(Explicação: derivar
dá
; derivar de novo aplica produto outra vez.)
Passo 6
Substituir em
e simplificar.
Temos
Passo 7
Expandir o lado esquerdo em termos de
e igualar coeficientes.
Escrevendo
,
,
. Então
Calcule cada termo:
Somando:
Agrupando coeficientes por potência de
:
Isso deve ser igual a
. Igualando coeficientes, obtemos o sistema:
Passo 8
Resolver o sistema para
.
Da primeira equação,
Calcule os números:
,
. Então
Passo 9
Escrever
e a solução geral.
Com
,
,
, o polinômio é
Logo a solução particular é
(Parabéns — chegamos à solução geral! Se a prova pedir somente uma solução particular, pode apresentar só
.)