Encontre todas as soluções da EDO.
x y^{\prime}-e^{y^{\prime}}-y=0

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre todas as soluções da EDO \;x\,y'-e^{y'}-y=0\;".\n
Informações dadas: \;y=y(x) é função desconhecida; y'=\dfrac{dy}{dx} aparece dentro de uma exponencial e também multiplicando x; a equação é implícita em y'.\n
O objetivo é obter todas as soluções y(x) que satisfazem esta igualdade para x em seus domínios apropriados.

Passo 2

Vamos fazer uma mudança muito útil: definir \;p(x)=y'(x).\n
Isso transforma a equação original em uma relação algébrica entre x, p e y. Substituindo, obtemos:
x p - e^{p} - y = 0.
Reescrevendo,
y = x p - e^{p}.
Aqui eu tratei p momentaneamente como uma “parâmetro” ligado a x (pois p=p(x)). A ideia é usar essa relação e diferenciá-la para obter uma equação que relacione p e suas variações.

Passo 3

Diferencio ambos os lados da identidade \;y = x p - e^{p} em relação a x. Lembre que p=p(x), então ao derivar aparece p' (a derivada de p em relação a x). Aplicando regra do produto e regra da cadeia:
derivada do lado esquerdo é \;y' = p.
derivada do lado direito:
  • de \;x p vem \;p + x p' (produto: d(xp)/dx = 1\cdot p + x\cdot p'),
  • de \;-e^{p} vem \;-e^{p} p' (cadeia: d(e^{p})/dx = e^{p} p').\n
    Assim:
p = p + x p' - e^{p} p'.
Subtraindo p dos dois lados:
0 = p'\,(x - e^{p}).

Passo 4

Da equação \;0 = p'\,(x - e^{p}) seguem duas possibilidades (produto zero):\n
Caso A: \;p' = 0.\n
Caso B: \;x - e^{p} = 0, ou seja \;x = e^{p}.
Vamos tratar cada caso separadamente.

Passo 5

Caso A: \;p' = 0. Isso significa que \;p é constante. Chamo essa constante de \;c: \;p(x)=c.\n
Como \;p=y', temos \;y' = c. Integrando em x:
y = c x + C,
onde C é constante de integração. Mas não podemos escolher C livremente: devemos satisfazer também a relação algébrica inicial \;y = x p - e^{p}. Substituindo p=c nessa relação obtemos
y = x c - e^{c}.
Comparando com y = c x + C, conclui-se que C = -e^{c}. Portanto a família de soluções obtida neste caso é
\boxed{\,y(x)=c x - e^{c}\,,\quad c\in\mathbb{R}\,}
uma família de retas de inclinação \;c. Observação: temos apenas um parâmetro c — a constante C da integração ficou determinada pela equação original.

Passo 6

Caso B: \;x = e^{p}. Daí \;p = \ln x. Note que isso só faz sentido para \;x>0 (domínio do logaritmo natural).\n
Como p=y', temos a equação diferencial explícita
y' = \ln x,\qquad x>0.
Integro essa equação em x. Para integrar \int \ln x\,dx uso a técnica de integração por partes (ou lembrar a primitiva padrão). Fazendo por partes: tome u=\ln x e dv=dx, então du=\dfrac{1}{x}dx e v=x. Assim
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C.
Então a primitiva geral é \;y(x)=x\ln x - x + C. Porém devemos verificar a relação algébrica original \;y = x p - e^{p} com p=\ln x. Substituindo:
x p - e^{p} = x\ln x - e^{\ln x} = x\ln x - x.
Para que a solução integada satisfaça a equação original, precisamos de
y(x)=x\ln x - x + C = x\ln x - x,
portanto \;C=0. Assim, deste caso obtemos uma solução específica, sem constante livre:
\boxed{\,y(x)=x\ln x - x\,,\quad x>0\,}
Essa é a solução singular (ou envelope) associada à família de retas do caso A.

Passo 7

Um comentário didático sobre por que esse caso B é chamado de solução singular/envelope: da família \;y=cx-e^{c} podemos tentar eliminar o parâmetro c encontrando onde essa família tem tangentes comuns — isso se faz impondo \partial y/\partial c=0:
\frac{\partial}{\partial c}\bigl(cx-e^{c}\bigr)=x-e^{c}=0 \quad\Rightarrow\quad e^{c}=x,\; c=\ln x.
Substituindo de volta dá \;y=x\ln x-x, exatamente a solução do Caso B. Geometricamente, a curva \;y=x\ln x-x é o envelope da família de retas \;y=cx-e^{c}. Note que essa solução só existe para x>0 e não pertence à família de retas como uma reta fixa (pois c dependeria de x).

Passo 8

Resumo das soluções encontradas e observações finais:\n
  • Solução geral em família (uma constante real c):
y(x)=c x - e^{c},\qquad c\in\mathbb{R},\; x\in\mathbb{R}.
  • Solução singular (envelope), definida apenas para x>0:
y(x)=x\ln x - x,\qquad x>0.
A solução singular não é obtida por nenhum valor fixo de c na família de retas; ela é a curva que “toca” cada reta da família no ponto em que x=e^{c}.

Resposta

y(x)=c x - e^{c},\; c\in\mathbb{R}.\n
y(x)=x\ln x - x,\; x>0.

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