Encontre todas as soluções da EDO.
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre todas as soluções da EDO
".\n
Informações dadas: é função desconhecida;
aparece dentro de uma exponencial e também multiplicando
; a equação é implícita em
.\n
O objetivo é obter todas as soluções que satisfazem esta igualdade para
em seus domínios apropriados.
Informações dadas:
O objetivo é obter todas as soluções
Passo 2
Vamos fazer uma mudança muito útil: definir
.\n
Isso transforma a equação original em uma relação algébrica entre ,
e
. Substituindo, obtemos:
Isso transforma a equação original em uma relação algébrica entre
Reescrevendo,
Aqui eu tratei
momentaneamente como uma “parâmetro” ligado a
(pois
). A ideia é usar essa relação e diferenciá-la para obter uma equação que relacione
e suas variações.
Passo 3
Diferencio ambos os lados da identidade
em relação a
. Lembre que
, então ao derivar aparece
(a derivada de
em relação a
). Aplicando regra do produto e regra da cadeia:
derivada do lado esquerdo é .
derivada do lado direito:
derivada do lado esquerdo é
derivada do lado direito:
- de
vem (produto: ), - de
vem (cadeia: ).\n
Assim:
Subtraindo
dos dois lados:
Passo 4
Da equação
seguem duas possibilidades (produto zero):\n
Caso A: .\n
Caso B: , ou seja
.
Caso A:
Caso B:
Vamos tratar cada caso separadamente.
Passo 5
Caso A:
. Isso significa que
é constante. Chamo essa constante de
:
.\n
Como , temos
. Integrando em
:
Como
onde
é constante de integração. Mas não podemos escolher
livremente: devemos satisfazer também a relação algébrica inicial
. Substituindo
nessa relação obtemos
Comparando com
, conclui-se que
. Portanto a família de soluções obtida neste caso é
uma família de retas de inclinação
. Observação: temos apenas um parâmetro
— a constante
da integração ficou determinada pela equação original.
Passo 6
Caso B:
. Daí
. Note que isso só faz sentido para
(domínio do logaritmo natural).\n
Como , temos a equação diferencial explícita
Como
Integro essa equação em
. Para integrar
uso a técnica de integração por partes (ou lembrar a primitiva padrão). Fazendo por partes: tome
e
, então
e
. Assim
Então a primitiva geral é
. Porém devemos verificar a relação algébrica original
com
. Substituindo:
Para que a solução integada satisfaça a equação original, precisamos de
portanto
. Assim, deste caso obtemos uma solução específica, sem constante livre:
Essa é a solução singular (ou envelope) associada à família de retas do caso A.
Passo 7
Um comentário didático sobre por que esse caso B é chamado de solução singular/envelope: da família
podemos tentar eliminar o parâmetro
encontrando onde essa família tem tangentes comuns — isso se faz impondo
:
Substituindo de volta dá
, exatamente a solução do Caso B. Geometricamente, a curva
é o envelope da família de retas
. Note que essa solução só existe para
e não pertence à família de retas como uma reta fixa (pois
dependeria de
).
Passo 8
Resumo das soluções encontradas e observações finais:\n
- Solução geral em família (uma constante real
):
- Solução singular (envelope), definida apenas para
:
A solução singular não é obtida por nenhum valor fixo de
na família de retas; ela é a curva que “toca” cada reta da família no ponto em que
.