Encontre todas as soluções da EDO.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as soluções da equação diferencial ordinária homogênea
Informações dadas: a equação envolve
e suas derivadas em relação à variável independente (vou chamar essa variável de
);
significa
e
significa
. Não foram dadas condições iniciais, então devemos encontrar a solução geral, que conterá duas constantes arbitrárias (porque a equação é de segunda ordem).
Passo 2
Idéia do método (sem pular etapas): procurar soluções de forma exponencial
, onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Por que essa escolha? Porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial:
Isso faz com que, ao substituir numa equação linear com coeficientes constantes, a exponencial possa ser fatorada, deixando uma equação algébrica para
. Essa equação algébrica chama-se equação característica.
Passo 3
Substituindo
na equação dada:
primeira derivada: ,
segunda derivada: .
Então
primeira derivada:
segunda derivada:
Então
Fatorando
(que nunca é zero), obtemos a equação característica
Passo 4
Resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
para uma quadrática , as raízes são
para uma quadrática
Aqui
,
,
. Calculemos o discriminante:
Como
, as raízes serão complexas conjugadas. Escrevendo
, obtemos
Simplificando dividindo numerador e denominador por
:
Chamemos
e
. Assim as raízes são
.
Passo 5
Como as raízes da equação característica são complexas conjugadas
, a forma geral das soluções reais da EDO homogênea é
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Por que isso? Porque as soluções exponenciais complexas
podem ser combinadas usando a fórmula de Euler
para formar duas soluções reais linearmente independentes
e
. Essas duas soluções servem como base para a solução geral real.
Passo 6
Substituindo
e
na fórmula da solução geral, obtemos
com
e
constantes reais arbitrárias. Essa é a solução geral da EDO; se você receber condições iniciais, basta substituir
e derivadas para resolver por
e
.