Encontre todas as soluções da EDO.
3 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as soluções da equação diferencial ordinária homogênea
3y''+2y'+y=0.
Informações dadas: a equação envolve y e suas derivadas em relação à variável independente (vou chamar essa variável de x); y' significa \dfrac{dy}{dx} e y'' significa \dfrac{d^2y}{dx^2}. Não foram dadas condições iniciais, então devemos encontrar a solução geral, que conterá duas constantes arbitrárias (porque a equação é de segunda ordem).

Passo 2

Idéia do método (sem pular etapas): procurar soluções de forma exponencial y(x)=e^{r x}, onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Por que essa escolha? Porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial:
\frac{d}{dx}e^{r x}=r e^{r x},\qquad \frac{d^2}{dx^2}e^{r x}=r^2 e^{r x}.
Isso faz com que, ao substituir numa equação linear com coeficientes constantes, a exponencial possa ser fatorada, deixando uma equação algébrica para r. Essa equação algébrica chama-se equação característica.

Passo 3

Substituindo y(x)=e^{r x} na equação dada:
primeira derivada: \;y'(x)=r e^{r x},
segunda derivada: \;y''(x)=r^2 e^{r x}.
Então
3(r^2 e^{r x}) + 2(r e^{r x}) + 1\cdot(e^{r x})=0.
Fatorando e^{r x} (que nunca é zero), obtemos a equação característica
3r^2+2r+1=0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática 3r^2+2r+1=0 usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
para uma quadrática ar^2+br+c=0, as raízes são
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui a=3, b=2, c=1. Calculemos o discriminante:
\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot3\cdot1=4-12=-8.
Como \Delta<0, as raízes serão complexas conjugadas. Escrevendo \sqrt{\Delta}=\sqrt{-8}=\sqrt{8}\,i=2\sqrt{2}\,i, obtemos
r=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}\,i}{2\cdot 3}=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}\,i}{6}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 2:
r=-\frac{1}{3}\pm i\frac{\sqrt{2}}{3}.
Chamemos \alpha=-\dfrac{1}{3} e \beta=\dfrac{\sqrt{2}}{3}. Assim as raízes são \alpha\pm i\beta.

Passo 5

Como as raízes da equação característica são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta, a forma geral das soluções reais da EDO homogênea é
y(x)=e^{\alpha x}\!\left(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\right),
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias. Por que isso? Porque as soluções exponenciais complexas e^{(\alpha\pm i\beta)x}=e^{\alpha x}e^{\pm i\beta x} podem ser combinadas usando a fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta para formar duas soluções reais linearmente independentes e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x). Essas duas soluções servem como base para a solução geral real.

Passo 6

Substituindo \alpha=-\dfrac{1}{3} e \beta=\dfrac{\sqrt{2}}{3} na fórmula da solução geral, obtemos
y(x)=e^{-x/3}\!\left(C_1\cos\!\left(\frac{\sqrt{2}}{3}x\right)+C_2\sin\!\left(\frac{\sqrt{2}}{3}x\right)\right),
com C_1 e C_2 constantes reais arbitrárias. Essa é a solução geral da EDO; se você receber condições iniciais, basta substituir x e derivadas para resolver por C_1 e C_2.

Resposta

y(x)=e^{-x/3}\!\left(C_1\cos\!\left(\frac{\sqrt{2}}{3}x\right)+C_2\sin\!\left(\frac{\sqrt{2}}{3}x\right)\right)

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