Uma fábrica manufatura dois tipos de máquinas em quantidades
e
. A função de custo total é dada por
.
(a) Para minimizar o custo, quantas máquinas de cada tipo devem ser produzidas se deve haver um total de 18 máquinas?
(b) Para maximizar o custo, quantas máquinas de cada tipo devem ser produzidas se deve haver um total de 18 máquinas?
(a) Para minimizar o custo, quantas máquinas de cada tipo devem ser produzidas se deve haver um total de 18 máquinas?
(b) Para maximizar o custo, quantas máquinas de cada tipo devem ser produzidas se deve haver um total de 18 máquinas?
Passo 1
O enunciado diz que a fábrica produz dois tipos de máquinas em quantidades
e
e que o custo total é
Há a condição de que o total de máquinas seja 18, isto é
As perguntas são duas:
(a) Encontrar e
que minimizam o custo sujeito à restrição
.
(b) Encontrar e
que maximizam o custo sujeito à mesma restrição.
(a) Encontrar
(b) Encontrar
Passo 2
Vou usar o método de multiplicadores de Lagrange para achar pontos críticos da função
sob a restrição linear
. Breve explicação do método (sem pular etapas): criamos a função de Lagrange
onde
é o multiplicador de Lagrange. A ideia é que, num ponto ótimo sujeito à restrição, os gradientes de
e da restrição são paralelos, e isso se traduz nas equações obtidas igualando as derivadas parciais de
a zero. Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Escrevo a função de Lagrange e calculo as derivadas parciais:
As equações
,
e
são:
A última é simplesmente a restrição
.
Passo 4
Agora uso as duas primeiras equações para eliminar
. Das primeiras duas:
e
Igualando os lados direitos:
Resolvendo esta equação passo a passo:
Passo 5
Substituo a relação
na restrição
:
Somando os termos do lado esquerdo:
Multiplico ambos os lados por
:
Então
Passo 6
Interpretação e verificação: encontramos o ponto
. Para ter certeza de que este ponto é um mínimo (e não um máximo ou ponto de sela), vale a pena analisar a forma quadrática de
. A matriz Hessiana de
é
Calculo os menores principais: o primeiro é
e o determinante de
é
. Como todos os menores principais são positivos,
é definida positiva, logo
é estritamente convexa e o ponto crítico sujeito à restrição linear é um mínimo único. Assim,
realmente minimiza o custo entre os pontos que satisfazem
.]
Passo 7
Agora tratemos a busca do máximo. Como o enunciado fala de quantidades de máquinas, faz sentido considerar
e
não-negativos, então a restrição completa é
. Nesse caso os pontos viáveis formam o segmento fechado com
e
. Uma função contínua num segmento fechado atinge mínimo e máximo; já achamos o mínimo interior em
. O máximo, por ser uma parábola ao longo do segmento, ocorrerá em uma das extremidades
ou
. Vou mostrar isso substituindo
em
e analisando a parábola resultante.
Passo 8
Substituo
em
para obter função unidimensional:
Faço a expansão passo a passo:
Somando todas as partes:
Agrupando termos semelhantes:
Observe que o coeficiente de
é
, então essa é uma parábola que se abre para cima; isso confirma que existe um mínimo interno (vértice) e que os valores em
atingem máximos nas extremidades.
Passo 9
Calculo os valores de
nas extremidades do segmento:
Para :
Para
Para
:
Comparando,
, então o máximo no segmento ocorre em
(ou seja, produzir 0 da primeira e 18 da segunda máquina).
Passo 10
Resumo final (rápido e direto): o mínimo ocorre em
e o máximo, considerando
e
, ocorre em
.
Resposta
(a)
\n(b)