Uma fábrica manufatura dois tipos de máquinas em quantidades x e y. A função de custo total é dada por f(x, y)=3 x^{2}-2 x y+4 y^{2}.
(a) Para minimizar o custo, quantas máquinas de cada tipo devem ser produzidas se deve haver um total de 18 máquinas?
(b) Para maximizar o custo, quantas máquinas de cada tipo devem ser produzidas se deve haver um total de 18 máquinas?

Passo 1

O enunciado diz que a fábrica produz dois tipos de máquinas em quantidades \,x e \,y e que o custo total é
f(x,y)=3x^{2}-2xy+4y^{2}.
Há a condição de que o total de máquinas seja 18, isto é
x+y=18.
As perguntas são duas:
(a) Encontrar \,x e \,y que minimizam o custo sujeito à restrição \,x+y=18.
(b) Encontrar \,x e \,y que maximizam o custo sujeito à mesma restrição.

Passo 2

Vou usar o método de multiplicadores de Lagrange para achar pontos críticos da função f sob a restrição linear x+y=18. Breve explicação do método (sem pular etapas): criamos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,(x+y-18),
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange. A ideia é que, num ponto ótimo sujeito à restrição, os gradientes de f e da restrição são paralelos, e isso se traduz nas equações obtidas igualando as derivadas parciais de \mathcal{L} a zero. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Escrevo a função de Lagrange e calculo as derivadas parciais:
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=3x^{2}-2xy+4y^{2}-\lambda(x+y-18).
As equações \partial\mathcal{L}/\partial x=0, \partial\mathcal{L}/\partial y=0 e \partial\mathcal{L}/\partial\lambda=0 são:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=6x-2y-\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=-2x+8y-\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=-(x+y-18)=0.
A última é simplesmente a restrição \,x+y=18.

Passo 4

Agora uso as duas primeiras equações para eliminar \lambda. Das primeiras duas:
6x-2y=\lambda
e
-2x+8y=\lambda.
Igualando os lados direitos:
6x-2y=-2x+8y.
Resolvendo esta equação passo a passo:
6x-2y+2x-8y=0,
8x-10y=0,
8x=10y,
x=\frac{10}{8}y=\frac{5}{4}y.

Passo 5

Substituo a relação x=\frac{5}{4}y na restrição x+y=18:
\frac{5}{4}y+y=18.
Somando os termos do lado esquerdo:
\frac{9}{4}y=18.
Multiplico ambos os lados por 4/9:
y=18\cdot\frac{4}{9}=\frac{72}{9}=8.
Então
x=18-y=18-8=10.

Passo 6

Interpretação e verificação: encontramos o ponto (x,y)=(10,8). Para ter certeza de que este ponto é um mínimo (e não um máximo ou ponto de sela), vale a pena analisar a forma quadrática de f. A matriz Hessiana de f é
H=\begin{pmatrix}6 & -2\\[4pt]-2 & 8\end{pmatrix}.
Calculo os menores principais: o primeiro é 6>0 e o determinante de H é 6\cdot8-(-2)^2=48-4=44>0. Como todos os menores principais são positivos, H é definida positiva, logo f é estritamente convexa e o ponto crítico sujeito à restrição linear é um mínimo único. Assim, (10,8) realmente minimiza o custo entre os pontos que satisfazem x+y=18.]

Passo 7

Agora tratemos a busca do máximo. Como o enunciado fala de quantidades de máquinas, faz sentido considerar x e y não-negativos, então a restrição completa é x\ge0,\;y\ge0,\;x+y=18. Nesse caso os pontos viáveis formam o segmento fechado com x\in[0,18] e y=18-x. Uma função contínua num segmento fechado atinge mínimo e máximo; já achamos o mínimo interior em x=10. O máximo, por ser uma parábola ao longo do segmento, ocorrerá em uma das extremidades x=0 ou x=18. Vou mostrar isso substituindo y=18-x em f e analisando a parábola resultante.

Passo 8

Substituo y=18-x em f para obter função unidimensional:
f(x)=3x^{2}-2x(18-x)+4(18-x)^{2}.
Faço a expansão passo a passo:
-2x(18-x)=-36x+2x^{2},
(18-x)^{2}=324-36x+x^{2},
4(18-x)^{2}=1296-144x+4x^{2}.
Somando todas as partes:
f(x)=3x^{2}+2x^{2}+4x^{2}-36x-144x+1296.
Agrupando termos semelhantes:
f(x)=9x^{2}-180x+1296.
Observe que o coeficiente de x^{2} é 9>0, então essa é uma parábola que se abre para cima; isso confirma que existe um mínimo interno (vértice) e que os valores em [0,18] atingem máximos nas extremidades.

Passo 9

Calculo os valores de f nas extremidades do segmento:
Para (x,y)=(0,18):
f(0,18)=3\cdot0^{2}-2\cdot0\cdot18+4\cdot18^{2}=4\cdot324=1296.
Para (x,y)=(18,0):
f(18,0)=3\cdot18^{2}-2\cdot18\cdot0+4\cdot0^{2}=3\cdot324=972.
Comparando, 1296>972, então o máximo no segmento ocorre em (0,18) (ou seja, produzir 0 da primeira e 18 da segunda máquina).

Passo 10

Resumo final (rápido e direto): o mínimo ocorre em (x,y)=(10,8) e o máximo, considerando x,y\ge0 e x+y=18, ocorre em (x,y)=(0,18).

Resposta

(a) \;x=10,\;y=8\n(b) \;x=0,\;y=18

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