Encontre todas as soluções da equação
1+x2!+x^24!+x^36!+cdots=0

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as soluções da equação
1 + x2! + x^24! + x^36! + cdots = 0
O conteúdo usado será séries de potências e reconhecimento de uma função elementar (a função cosseno hiperbólico), cuja expansão em série de Taylor é
cosh z = sumn=0^infty z^2n(2n)!.

Passo 2

Observe o termo geral da soma: para cada n>=0 ele é
x^n(2n)!.
Se escrevemos z = raizx, então
z^2n = (raizx)^2n = x^n,
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x^n(2n)! = z^2n(2n)!.

Passo 3

Com isso reconhecemos que
sumn=0^infty x^n(2n)! = sumn=0^infty z^2n(2n)! = cosh z,
onde z = raizx.
Portanto a equação original fica
coshl(raizxr) = 0

Passo 4

Sabemos que os zeros de cosh w são
w = il(pi2 + pi kr), kinZ,
pois cosh(itheta)=costheta e costheta=0 quando theta=tfracpi2+pi k.

Passo 5

Igualando w = raizx obtemos
raizx = il(tfracpi2 + pi kr) Longrightarrow x = -l(tfracpi2 + pi kr)^2
Podemos escrever tfracpi2 + pi k = tfrac(2k+1)pi2, de modo que as soluções ficam
xk = -l((2k+1)pi2r)^2, kinZ

Resposta

Todas as soluções da equação são
boxed,xk = -l(tfrac(2k+1)pi2r)^2, kinZ,

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