Tomando o valor de x^x em 0 igual a 1 e integrando uma série termo a termo, vamos demonstrar que
integral0^1 x^x d x=sumn=1^infty (-1)^n-1n^n
Conclua, por fim, o resultado.

Passo 1

Resumindo: queremos mostrar que
integral0^1x^x,dx ;=;sumn=1^infty(-1)^,n-1n^n
O conteúdo é uso de séries de potências (expansão de e^u) e integração termo a termo, mais cálculo de integrais do tipo integral0^1x^n(ln x)^n,dx.

Passo 2

Escrevemos
x^x ;=; e^xln x
e expandimos o exponencial em série de potências: para todo xin[0,1] vale
e^xln x =sumn=0^inftyl(xln xr)^nn!
Como em [0,1] temos lvert xln xrvert<= e^-1, essa série converge uniformemente, permitindo trocar soma e integral.

Passo 3

Integramos termo a termo:
integral0^1x^x,dx =integral0^1sumn=0^inftyx^n(ln x)^nn!,dx =sumn=0^infty1n!integral0^1x^n(ln x)^n,dx

Passo 4

Calculamos a integral genérica
In = integral0^1x^n(ln x)^n,dx
Fazendo a mudança t=-ln x ( x=e^-t, dx=-e^-tdt), obtém-se
In =integralinfty^0e^-nt(-t)^nl(-e^-tdtr) =(-1)^nintegral0^inftyt^ne^-(n+1)tdt =(-1)^n,n!(n+1)^n+1,
pois integral0^inftyt^ne^-(n+1)tdt=n!(n+1)^n+1.

Passo 5

Substituindo em sumn=0^infty1n!In
integral0^1x^x,dx =sumn=0^infty1n!,(-1)^n,n!(n+1)^n+1 =sumn=0^infty(-1)^n(n+1)^n+1
Fazendo k=n+1, isso fica
sumk=1^infty(-1)^,k-1k^k

Resposta

integral0^1x^x,dx =sumn=1^infty(-1)^,n-1n^n

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