Tomando o valor de
em 0 igual a 1 e integrando uma série termo a termo, vamos demonstrar que
Conclua, por fim, o resultado.
Passo 1
Resumindo: queremos mostrar que
O conteúdo é uso de séries de potências (expansão de
) e integração termo a termo, mais cálculo de integrais do tipo
.
Passo 2
Escrevemos
e expandimos o exponencial em série de potências: para todo
vale
Como em
temos
, essa série converge uniformemente, permitindo trocar soma e integral.
Passo 3
Integramos termo a termo:
Passo 4
Calculamos a integral genérica
Fazendo a mudança
(
,
), obtém-se
pois
.
Passo 5
Substituindo em
dá
Fazendo
, isso fica