Tomando o valor de x^x em 0 igual a 1 e integrando uma série termo a termo, vamos demonstrar que
integral0^1 x^x d x=sumn=1^infty (-1)^n-1n^n
Integre termo a termo a série de Maclaurin de modo a obter integral0^1 x^n(ln (x))^n d x=(-1)^n n!(n+1)^n integral0^1 x^n d x= (-1)^n n!(n+1)^n.

Passo 1

O enunciado pede para usar a expansão de Maclaurin de x^x=e^xln x, integrar termo a termo em [0,1] e mostrar que o termo genérico satisfaz
integral0^1x^n(ln x)^n,dx=(-1)^nn!(n+1)^n+1
Vamos precisar da série de Taylor de e^y e da fórmula conhecida
integral0^1x^a(ln x)^m,dx=(-1)^m,m!,/,(a+1)^m+1

Passo 2

Para começar, lembramos que a série de Maclaurin de e^y é
[e{y}=\sum_{k=0}{\infty}\frac{y^{k}}{k!}.
Em particular, para y=xln x temos
[x{x}=e{x\ln x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x\ln x)^{n}}{n!}=
\sum_{n=0}{\infty}\frac{x{n}(\ln x)^{n}}{n!}.

Resposta

integral0^1x^n(ln x)^n,dx=(-1)^n,n!(n+1)^n+1

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