Encontre todas as soluções da equação: 2 log 3(x-2)+log 3(x-4)^2=0

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa resolver
2log3(x-2);+;log3l((x-4)^2r);=;0
Conteúdo: logaritmos. Vamos usar as propriedades
  1. klogb(A)=logb(A^k)
  2. logb(A)+logb(B)=logb(AB)
  3. todo argumento de log precisa ser >0.

Passo 2

Domínio da função:
  • Para log3(x-2) precisamos de x-2>0, ou seja x>2.
  • Para log3((x-4)^2) precisamos de (x-4)^2>0, que vale para todo xneq4.
    Logo o domínio é
x>2, xneq4

Passo 3

Transforma 2log3(x-2) em log de potência:
2log3(x-2)=log3l((x-2)^2r)
A soma de logs vira produto dentro de um único log:
log3l((x-2)^2r)+log3l((x-4)^2r) =log3l((x-2)^2,(x-4)^2r) =0

Passo 4

Se log3(Y)=0, então Y=1. Aqui
(x-2)^2,(x-4)^2=1 ;Longrightarrow; l((x-2)(x-4)r)^2=1

Passo 5

Tirando raiz (lembrando o “ pm”):
(x-2)(x-4)=pm1
Mas (x-2)(x-4)=x^2-6x+8. Então temos dois casos:
  1. x^2-6x+8=1 ;implies; x^2-6x+7=0, com De<a=36-28=8,
x=6pmraiz82=3pmraiz2
  1. x^2-6x+8=-1 ;implies; x^2-6x+9=0, com De<a=36-36=0,
x=62=3

Passo 6

Verifica no domínio x>2,,xneq4:
  • 3+raiz2approx4,414>2 e neq4: vale.
  • 3-raiz2approx1,586<2: rejeita.
  • 3>2 e neq4: vale.

Resposta

As soluções são
boxedx=3e x=3+raiz2

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