Resolva os PVIs:
cd yd x=2 x+13 y^2-3 y(0)=0

Passo 1

Beleza, a gente tem um PVI (Problema de Valor Inicial) dado por
dydx = 2x+13y^2 - 3,[6pt] y(0) = 0
Conteúdo: equações diferenciais de variáveis separáveis.
O que vamos precisar:
  1. Reconhecer que dá pra separar as variáveis y e x.
  2. Integrar dos dois lados.
  3. Usar a condição inicial para achar a constante de integração.]

Passo 2

Teoria de variáveis separáveis: se a equação está na forma
dydx = G(x),H(y),
a gente pode escrever
1H(y),dy = G(x),dx
e então integrar ambos os lados.
No nosso caso,
dydx = 2x+13y^2 - 3 Longrightarrow (3y^2 - 3),dy = (2x + 1),dx

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral (3y^2 - 3),dy ;=; integral (2x + 1),dx
Do lado esquerdo:
integral 3y^2,dy - integral 3,dy = 3cdoty^33 - 3y = y^3 - 3y
Do lado direito:
integral 2x,dx + integral 1,dx = x^2 + x + C,
onde C é a constante de integração.
Logo a solução implícita geral é
y^3 - 3y = x^2 + x + C

Passo 4

Agora usamos a condição inicial y(0)=0:
y^3 - 3y vertx=0,y=0 = 0^3 - 3cdot 0 = 0,
e do outro lado,
x^2 + x + C vertx=0 = 0 + 0 + C = C
Então C=0. Assim a solução do PVI fica
y^3 - 3y = x^2 + x

Resposta

A solução (implícita) do PVI é
boxed,y^3 - 3y = x^2 + x,

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