Resolva a desigualdade 1x-1 >= 2x+4

Passo 1

Tranquilo, o enunciado manda a gente resolver a desigualdade
1x-1 >= 2x+4
Isso é desigualdade racional (frações com x no denominador). Para desenrolar, a gente vai:
  1. achar o domínio (não dá pra dividir por zero),
  2. passar tudo para um lado e juntar as frações numa só,
  3. encontrar os pontos críticos (onde numerador ou denominador zera),
  4. estudar o sinal da fração em cada intervalo.

Passo 2

Beleza, antes de mais nada, denominador não pode ser zero. Então:
x-1 neq 0 ;Rightarrow; x neq 1, x+4 neq 0 ;Rightarrow; x neq -4
Esses valores são proibidos de aparecer.

Passo 3

Leva tudo para o mesmo lado:
1x-1 - 2x+4 ;>=; 0
Pra somar, dá o mesmo denominador (x-1)(x+4):
1cdot(x+4) ;-; 2cdot(x-1)(x-1)(x+4) ;>=; 0
No numerador:
x + 4 ;-; 2x + 2 ;=; -x + 6
Logo a desigualdade vira
-x+6(x-1)(x+4) ;>=; 0 ou 6-x(x-1)(x+4) ;>=; 0

Passo 4

A gente marca os pontos que anulam numerador e denominador:
  • Numerador zero: 6 - x = 0 Rightarrow x = 6.
  • Denominador zero: x - 1 = 0 Rightarrow x = 1;
    x + 4 = 0 Rightarrow x = -4.
    Então os pontos críticos são x = -4, 1, 6.

Passo 5

Regra geral: uma fração é
  • positiva se numerador e denominador têm o mesmo sinal,
  • negativa se tiverem sinais opostos,
  • zero quando numerador = 0 (denominador ≠ 0).
Vamos ver cada intervalo:
Intervalo (-infty, -4):
  • Numerador 6-x>0 (porque x<6),
  • Denominador (x-1)(x+4)>0 (dois fatores negativos),
    → fração positiva.
Intervalo (-4,1):
  • Numerador > 0,
  • Denominador < 0,
    → fração negativa.
Intervalo (1,6):
  • Numerador > 0,
  • Denominador > 0 (dois fatores positivos),
    → fração positiva.
Intervalo (6,infty):
  • Numerador < 0,
  • Denominador > 0,
    → fração negativa.
Queremos onde a fração é ≥ 0, ou seja, positiva ou zero. A fração chega a zero em x=6 (denominador ≠ 0), e é positiva em (-infty,-4) e (1,6). Lembra de excluir -4 e 1 porque daí o denominador zera.

Resposta

x in (-infty,-4);cup;(1,6]

Exercícios relacionados