Resolva a desigualdade
Passo 1
Tranquilo, o enunciado manda a gente resolver a desigualdade
Isso é desigualdade racional (frações com
no denominador). Para desenrolar, a gente vai:
- achar o domínio (não dá pra dividir por zero),
- passar tudo para um lado e juntar as frações numa só,
- encontrar os pontos críticos (onde numerador ou denominador zera),
- estudar o sinal da fração em cada intervalo.
Passo 2
Beleza, antes de mais nada, denominador não pode ser zero. Então:
Esses valores são proibidos de aparecer.
Passo 3
Leva tudo para o mesmo lado:
Pra somar, dá o mesmo denominador
:
No numerador:
Logo a desigualdade vira
Passo 4
A gente marca os pontos que anulam numerador e denominador:
- Numerador zero:
. - Denominador zero:
;
.
Então os pontos críticos são.
Passo 5
Regra geral: uma fração é
- positiva se numerador e denominador têm o mesmo sinal,
- negativa se tiverem sinais opostos,
- zero quando numerador = 0 (denominador ≠ 0).
Vamos ver cada intervalo:
Intervalo
:
- Numerador
(porque ), - Denominador
(dois fatores negativos),
→ fração positiva.
Intervalo
:
- Numerador > 0,
- Denominador < 0,
→ fração negativa.
Intervalo
:
- Numerador > 0,
- Denominador > 0 (dois fatores positivos),
→ fração positiva.
Intervalo
:
- Numerador < 0,
- Denominador > 0,
→ fração negativa.
Queremos onde a fração é ≥ 0, ou seja, positiva ou zero. A fração chega a zero em
(denominador ≠ 0), e é positiva em
e
. Lembra de excluir
e
porque daí o denominador zera.