Resolva os PVIs:
cy^prime+(1-2 x) y=x e^-x y(0)=2

Passo 1

Aqui temos um PVI que envolve uma equação diferencial linear de primeira ordem com condição inicial.

Passo 2

A forma padrão de uma EDO linear de 1ª ordem é y' + p(x),y = q(x). Aqui identificamos p(x)=1-2x e q(x)=x e^-x. O método que vamos usar é o do fator integrante, definido por mu(x)=e^integral p(x),dx. Como integral(1-2x),dx = x - x^2, temos mu(x)=e^x - x^2.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x). O lado esquerdo fica mu(x),y' + mu(x),p(x),y, que é exatamente a derivada tfracddx[mu(x),y]. Assim a equação vira tfracddx[mu(x),y] = mu(x),q(x).

Passo 4

Agora calculamos o produto no lado direito: mu(x),q(x)=e^x-x^2cdot x e^-x=x e^-x^2. Precisamos então integrar ambos os lados:

Passo 5

integral x e^-x^2,dx = -tfrac12 e^-x^2 + C

Passo 6

Logo temos mu(x),y = -tfrac12 e^-x^2 + C.

Passo 7

Para isolar y dividimos por mu(x):

Passo 8

y = -tfrac12 e^-x^2 + Ce^x - x^2 = -tfrac12 e^-x + C e^-x + x^2

Passo 9

Por fim, aplicamos a condição inicial y(0)=2:

Passo 10

y(0) = -tfrac12 + C = 2 implies C = tfrac52

Resposta

y(x) = -tfrac12 e^-x + tfrac52 e^-x + x^2

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