Os exercícios de (10) a (15) são baseados no cálculo via Teste da Integral da estimativa do resto de uma série convergente para . Ou seja, na aproximação de uma série por uma soma parcial , comete-se o , em que é definido a partir da seguinte identidade:
Ao se aproximar a série , estime o erro cometido .)

Passo 1

O enunciado pede estimar o erro
varepsilon30=l|R30r|
ao aproximar a série
sumk=1^infty1k^4
pela sua soma parcial
S30=sumk=1^301k^4.
O conteúdo envolvido é o Teste da Integral aplicado a uma função positiva e decrescente.

Passo 2

Definimos
f(x)=1x^4.
Para x>=1, f(x)>0 e
f'(x)=-4x^5<0,
logo f é decrescente em [1,infty). Assim podemos usar as estimativas do resto via integral.

Passo 3

Pelo Teste da Integral, para n>=1 vale
integraln+1^inftyf(x),dx;<=;Rn;<=;integraln^inftyf(x),dx
onde
Rn=sumk=n+1^infty1k^4.

Passo 4

Calculemos de modo geral
integraln^inftyx^-4,dx =l[-tfrac13x^-3r]n^infty =13,n^3

Passo 5

Substituindo n=30 e n+1=31, obtemos
integral31^inftyx^-4,dx =13cdot 31^3 =189373approx 1,1188times10^-5,
integral30^inftyx^-4,dx =13cdot 30^3 =181000approx 1,2346times10^-5

Passo 6

Portanto
1,1188times10^-5;<=;l|R30r|;<=;1,2346times10^-5
Ou seja, o erro varepsilon30 é da ordem de 10^-5, aproximadamente 1,2times10^-5.

Resposta

1,1188times10^-5;<=;varepsilon30;<=;1,2346times10^-5

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