Encontre todas as soluções das seguintes EDO’s;
t^{2} u^{\prime}=t u+u^{2}

Passo 1

Enunciado: encontrar todas as soluções da EDO
t^{2}u' = t u + u^{2}.
Informações dadas e pedido:
  • A equação relaciona a derivada u' com t e u.
  • Observação imediata: a equação tem fator t^{2} multiplicando u', portanto t=0 é um ponto onde a equação não está definida (vamos trabalhar em intervalos onde t\neq0).
  • O que se pede: determinar todas as soluções u(t) (família de soluções com constante de integração e também eventuais soluções especiais).

Passo 2

Colocar a equação numa forma mais conveniente (dividindo por t^{2}, válido quando t\neq0):
u'=\frac{t u + u^{2}}{t^{2}}=\frac{u}{t}+\frac{u^{2}}{t^{2}}.
Escrevendo em forma padrão:
u' - \frac{1}{t}\,u = \frac{1}{t^{2}}\,u^{2}.
Aqui vemos uma equação que tem o termo u^{2} no lado direito multiplicado por uma função de t; esse é o caso clássico que se resolve com a transformação de Bernoulli (vou mostrar passo a passo).

Passo 3

Transformação de Bernoulli (caso u^{2}). A transformação para uma equação de Bernoulli com expoente n é v = u^{1-n}. No nosso caso n=2, então escolhemos
v = u^{-1}=\frac{1}{u}.
Precisamos relacionar v' com u'. Derivando v=u^{-1} em relação a t:
v' = -u^{-2}\,u'.
Isto nos permite substituir u' da equação original.

Passo 4

Substituir u' usando a equação reescrita em Passo 2. Temos u' = \dfrac{u}{t}+\dfrac{u^{2}}{t^{2}}. Então
v' = -u^{-2}\left(\frac{u}{t}+\frac{u^{2}}{t^{2}}\right) = -\left(\frac{1}{t}\cdot\frac{1}{u} + \frac{1}{t^{2}}\right).
Como v=\dfrac{1}{u}, isto fica
v' = -\frac{1}{t}v - \frac{1}{t^{2}}.
Rearranjando, obtemos uma equação linear de primeira ordem para v:
v' + \frac{1}{t}v = -\frac{1}{t^{2}}.

Passo 5

Resolver a equação linear para v com fator integrante. O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{1}{t}\,dt\right)=\exp(\ln|t|)=|t|.
Para simplificar a escrita (e porque o sinal pode ser absorvido na constante de integração), trabalhamos com \mu(t)=t lembrando que t\neq0. Multiplicando a equação por t:
t v' + v = -\frac{1}{t}.
O lado esquerdo é a derivada do produto t v:
(t v)' = -\frac{1}{t}.
Integrando ambos os lados em t:
t v = \int -\frac{1}{t}\,dt = -\ln|t| + C,
onde C é constante arbitrária de integração. Assim
v = \frac{-\ln|t| + C}{t} = \frac{C - \ln|t|}{t}.

Passo 6

Voltar à variável u usando u=1/v. Isso dá a família geral de soluções (para t\neq0 e desde que v\neq0):
u(t)=\frac{1}{v(t)}=\frac{t}{C - \ln|t|},
onde C\in\mathbb{R} é a constante de integração. Além disso, há a solução identicamente nula u(t)\equiv 0, que satisfaz a equação original (verificação rápida: se u\equiv0 então t^{2}u'=0 e t u+u^{2}=0, ok).

Passo 7

Discussão sobre domínio e singularidades:
  • Todas as fórmulas acima foram obtidas supondo t\neq0.
  • A solução geral u(t)=\dfrac{t}{C-\ln|t|} fica indefinida quando C-\ln|t|=0, isto é, nos pontos t tais que \ln|t|=C (nesses pontos u tem uma singularidade vertical). Portanto cada solução está definida em intervalos onde t\neq0 e onde C-\ln|t|\neq0 (intervalos que não cruzem a singularidade).
  • A solução u\equiv 0 é válida para todos os t.

Resposta

u(t)=\frac{t}{C-\ln|t|},\qquad C\in\mathbb{R},\\ t\neq0\\ \text{e}\\ C-\ln|t|\neq0
u(t)\equiv 0

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