Encontre todas as soluções das seguintes EDO’s;
Passo 1
Enunciado: encontrar todas as soluções da EDO
Informações dadas e pedido:
- A equação relaciona a derivada
com e . - Observação imediata: a equação tem fator
multiplicando , portanto é um ponto onde a equação não está definida (vamos trabalhar em intervalos onde ). - O que se pede: determinar todas as soluções
(família de soluções com constante de integração e também eventuais soluções especiais).
Passo 2
Colocar a equação numa forma mais conveniente (dividindo por
, válido quando
):
Escrevendo em forma padrão:
Aqui vemos uma equação que tem o termo
no lado direito multiplicado por uma função de
; esse é o caso clássico que se resolve com a transformação de Bernoulli (vou mostrar passo a passo).
Passo 3
Transformação de Bernoulli (caso
). A transformação para uma equação de Bernoulli com expoente
é
. No nosso caso
, então escolhemos
Precisamos relacionar
com
. Derivando
em relação a
:
Isto nos permite substituir
da equação original.
Passo 4
Substituir
usando a equação reescrita em Passo 2. Temos
. Então
Como
, isto fica
Rearranjando, obtemos uma equação linear de primeira ordem para
:
Passo 5
Resolver a equação linear para
com fator integrante. O fator integrante é
Para simplificar a escrita (e porque o sinal pode ser absorvido na constante de integração), trabalhamos com
lembrando que
. Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em
:
onde
é constante arbitrária de integração. Assim
Passo 6
Voltar à variável
usando
. Isso dá a família geral de soluções (para
e desde que
):
onde
é a constante de integração. Além disso, há a solução identicamente nula
, que satisfaz a equação original (verificação rápida: se
então
e
, ok).
Passo 7
Discussão sobre domínio e singularidades:
- Todas as fórmulas acima foram obtidas supondo
. - A solução geral
fica indefinida quando , isto é, nos pontos tais que (nesses pontos tem uma singularidade vertical). Portanto cada solução está definida em intervalos onde e onde (intervalos que não cruzem a singularidade). - A solução
é válida para todos os .