No triângulo de vértices
e
prove que as três medianas se encontram no baricentro G, determinando suas coordenadas.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo cujos vértices são
,
e
.
O objetivo é mostrar que as três medianas (segmentos que ligam cada vértice ao ponto médio do lado oposto) concorrem num ponto , chamado baricentro, e achar as coordenadas de
.
Para isso vamos usar a fórmula do ponto médio e escrever equações paramétricas de duas medianas, resolver o sistema para encontrar o ponto de interseção e depois verificar que a terceira mediana também passa por esse ponto.
O objetivo é mostrar que as três medianas (segmentos que ligam cada vértice ao ponto médio do lado oposto) concorrem num ponto
Para isso vamos usar a fórmula do ponto médio e escrever equações paramétricas de duas medianas, resolver o sistema para encontrar o ponto de interseção e depois verificar que a terceira mediana também passa por esse ponto.
Passo 2
Calculemos os pontos médios dos lados:
Agora escrevemos as equações paramétricas das medianas de
e de
:
Passo 3
Para achar a interseção, igualamos as duas parametrizações:
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Logo o ponto de interseção
tem coordenadas (usando a parametrização de
):
Passo 4
Verifiquemos que a mediana que sai de
também passa por
.
Parametrizamos essa mediana:
Parametrizamos essa mediana:
Para que
seja igual a
basta tomar
, pois
Assim
está sobre a terceira mediana também.
Passo 5
Concluímos que as três medianas se encontram num único ponto
, o baricentro, cujas coordenadas são
Resposta
As medianas concorrem no baricentro