No triângulo de vértices (a, 0),(b, 0) e (0, c): prove que as três medianas se encontram no baricentro G, determinando suas coordenadas.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo cujos vértices são
(a,0), (b,0) e (0,c).
O objetivo é mostrar que as três medianas (segmentos que ligam cada vértice ao ponto médio do lado oposto) concorrem num ponto G, chamado baricentro, e achar as coordenadas de G.
Para isso vamos usar a fórmula do ponto médio e escrever equações paramétricas de duas medianas, resolver o sistema para encontrar o ponto de interseção e depois verificar que a terceira mediana também passa por esse ponto.

Passo 2

Calculemos os pontos médios dos lados:
MBC=l(b+02,,0+c2r)=l(tfrac b2,tfrac c2r),
MAC=l(a+02,,0+c2r)=l(tfrac a2,tfrac c2r),
MAB=l(a+b2,,0+02r)=l(tfraca+b2,0r)
Agora escrevemos as equações paramétricas das medianas de A=(a,0) e de B=(b,0):
mediana de A:;(x,y)=(a,0)+tl(MBC-(a,0)r) =(a,0)+tl(tfrac b2 -a,;tfrac c2-0r),
mediana de B:;(x,y)=(b,0)+sl(MAC-(b,0)r) =(b,0)+sl(tfrac a2 -b,;tfrac c2-0r)

Passo 3

Para achar a interseção, igualamos as duas parametrizações:
a + tl(tfrac b2 - ar);=;b + sl(tfrac a2 - br), tcdottfrac c2 ;=; scdottfrac c2
Da segunda equação vem t=s. Substituindo na primeira:
a - b ;=; tl(tfrac a2 - b -(tfrac b2 - a)r) = tcdot32(a-b) Longrightarrow t=23
Logo o ponto de interseção G tem coordenadas (usando a parametrização de A):
xG = a + tfrac23l(tfrac b2 - ar) = a+b3, yG = tfrac23cdottfrac c2 = c3

Passo 4

Verifiquemos que a mediana que sai de C=(0,c) também passa por G.
Parametrizamos essa mediana:
(x,y) = (0,c)+ul(MAB-(0,c)r) = (0,c)+ul(tfraca+b2,,-cr) =l(ucdottfraca+b2,,c(1-u)r)
Para que (x,y)=(xG,yG) seja igual a l(tfraca+b3,tfrac c3r) basta tomar u=tfrac23, pois
ucdottfraca+b2=tfraca+b3, c(1-u)=tfracc3
Assim G está sobre a terceira mediana também.

Passo 5

Concluímos que as três medianas se encontram num único ponto G, o baricentro, cujas coordenadas são
boxedG!l(tfraca+b3,,tfracc3r)

Resposta

As medianas concorrem no baricentro
G!l(tfraca+b3,,tfracc3r)

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