Encontre todas as soluções de
z^{3}=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de números complexos
z^{3} = -1,
que é um caso clássico de raízes de um número complexo. Para isso, vamos usar a forma polar de um número complexo e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, escrevemos -1 em forma polar. Como -1 tem módulo 1 e argumento \pi (mais quaisquer múltiplos de 2\pi), temos:
-1 = e^{i(\pi + 2\pi k)},
onde k é um inteiro.

Passo 3

Aplicando o Teorema de De Moivre para extrair a raiz cúbica, as soluções z satisfazem
z = \bigl(e^{i(\pi + 2\pi k)}\bigr)^{1/3} = e^{i(\pi + 2\pi k)/3},
com k = 0,1,2. Esses três valores são distintos.

Passo 4

Para k=0,1,2 obtemos as raízes:
\begin{aligned} z_{0} &= e^{i\pi/3} = \tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt3}{2},\\\ z_{1} &= e^{i\pi} = -1,\\\ z_{2} &= e^{i5\pi/3} = \tfrac12 - i\,\tfrac{\sqrt3}{2}. \end{aligned}

Resposta

As três soluções de z^3=-1 são
\displaystyle z = e^{i\pi/3} = \tfrac12 + i\tfrac{\sqrt3}{2},
\displaystyle z = -1,
\displaystyle z = e^{i5\pi/3} = \tfrac12 - i\tfrac{\sqrt3}{2}.

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