{ }^{a} Questão. (3 pontos) Considere o campo vetorial:
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(z+\operatorname{sen}(z), x^{3}-x^{2} y, x \cos (z)-y\right)
Considere a curva C, interseção da superfície z=x y^{2} com o cilindro circular x^{2}+y^{2}=1, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Utilize o Teorema de Stokes para calcular
\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d r .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de linha
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(z+\sin z,\;x^{3}-x^{2}y,\;x\cos z-y\bigr),
e C é a curva interseção de z=xy^{2} com o cilindro x^{2}+y^{2}=1, orientada no sentido anti-horário vista de cima. Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde S é a superfície z=xy^{2} sobre o disco x^{2}+y^{2}\le1 e \mathbf{n} é o vetor unitário normal orientado para cima.

Passo 2

Calcular o curl de \mathbf{F}.
Em coordenadas,
\nabla\times\mathbf{F} =\bigl( \partial_{y}F_{3}-\partial_{z}F_{2},\; \partial_{z}F_{1}-\partial_{x}F_{3},\; \partial_{x}F_{2}-\partial_{y}F_{1} \bigr).
Aqui
F_{1}=z+\sin z,\quad F_{2}=x^{3}-x^{2}y,\quad F_{3}=x\cos z-y.
Logo
\partial_{y}F_{3}-\partial_{z}F_{2} =(0-1)-0=-1,
\partial_{z}F_{1}-\partial_{x}F_{3} =(1+\cos z)-(\cos z)=1,
\partial_{x}F_{2}-\partial_{y}F_{1} =(3x^{2}-2xy)-0=3x^{2}-2xy.
Portanto
\nabla\times\mathbf{F} =(-1,\;1,\;3x^{2}-2xy).

Passo 3

Parametrizamos S como gráfico de z=f(x,y)=xy^{2} sobre o disco D:\,x^{2}+y^{2}\le1. O vetor normal (não-unitário) orientado para cima é dado por
\mathbf{n}\,dA =(-f_{x},-f_{y},1)\,dA =(-y^{2},\,-2xy,\,1)\,dA.
Assim
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} =(-1)(-y^{2})+(1)(-2xy)+(3x^{2}-2xy)(1) =y^{2}-2xy+3x^{2}-2xy =3x^{2}+y^{2}-4xy.

Passo 4

O Teorema de Stokes dá
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{D}\bigl(3x^{2}+y^{2}-4xy\bigr)\,dA,
com D o disco unitário x^{2}+y^{2}\le1. Pela simetria do disco temos
\iint_{D}x^{2}\,dA =\iint_{D}y^{2}\,dA =\frac{\pi}{4}, \quad \iint_{D}xy\,dA=0.
Então
\iint_{D}(3x^{2}+y^{2}-4xy)\,dA =3\cdot\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}-4\cdot0 =\pi.

Resposta

\displaystyle \pi

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