Questão. (3 pontos) Considere o campo vetorial:
Considere a curva
, interseção da superfície
com o cilindro circular
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Utilize o Teorema de Stokes para calcular
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral de linha
onde
e
é a curva interseção de
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário vista de cima. Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
onde
é a superfície
sobre o disco
e
é o vetor unitário normal orientado para cima.
Passo 2
Calcular o curl de
.
Em coordenadas,
Em coordenadas,
Aqui
Logo
Portanto
Passo 3
Parametrizamos
como gráfico de
sobre o disco
. O vetor normal (não-unitário) orientado para cima é dado por
Assim
Passo 4
O Teorema de Stokes dá
com
o disco unitário
. Pela simetria do disco temos
Então