( \mathbf{2 , 0} ptos) Dado z=3+\sqrt{3} \cdot t e w=\log (1-t) calcule
a. A forma cartesiana de z^{2}
b. A forma polar de \bar{w}

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o número complexo
z = 3 + \sqrt{3}\,i
e a função complexa principal
w = \log(1 - i),
onde \log é o logaritmo complexo principal. Pedem:
a) a forma cartesiana de z^2.
b) a forma polar de \overline{w}.

Passo 2

Para achar z^2 usamos o desenvolvimento de binômio:
z^2 = (3 + \sqrt{3}\,i)^2 = 3^2 + 2\cdot3\cdot(\sqrt{3}\,i) + (\sqrt{3}\,i)^2.

Passo 3

Calculando termo a termo:
3^2 = 9,\quad 2\cdot3\cdot(\sqrt{3}\,i)=6\sqrt{3}\,i,\quad (\sqrt{3}\,i)^2 = 3\,i^2 = -3.
Logo,
z^2 = 9 + 6\sqrt{3}\,i - 3 = 6 + 6\sqrt{3}\,i.

Passo 4

Para w=\log(1 - i) precisamos do módulo e argumento de 1 - i.
|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}, \quad \arg(1 - i) = -\frac{\pi}{4}\quad(\text{ramo principal}).

Passo 5

Assim
w = \ln|1 - i| + i\,\arg(1 - i) = \ln\sqrt{2} \;-\; i\,\frac{\pi}{4}.
Então o conjugado é
\overline{w} = \ln\sqrt{2} \;+\; i\,\frac{\pi}{4}.

Passo 6

Para passar \overline{w} à forma polar, achamos seu módulo \rho e argumento \varphi:
\rho = \bigl|\overline{w}\bigr| = \sqrt{\bigl(\ln\sqrt{2}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)^2}, \quad \varphi = \arctan\!\biggl(\frac{\tfrac{\pi}{4}}{\ln\sqrt{2}}\biggr).
Logo
\overline{w} = \rho\,e^{\,i\varphi} = \sqrt{\bigl(\ln\sqrt{2}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)^2} \;e^{\,i\,\arctan\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}/\ln\sqrt{2}\bigr)}.

Resposta

a) z^2 = 6 + 6\sqrt{3}\,i.
b) \displaystyle \overline{w} = \sqrt{\bigl(\ln\sqrt{2}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)^2} \;e^{\,i\,\arctan\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}/\ln\sqrt{2}\bigr)}.

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