( \mathbf{4 , 0} ptos) Calcule as integrais abaixo
\int_{\gamma}\left[\left(4 x y-y^{2}\right)+\imath\left(3 x y^{2}+3 x^{2} y\right)\right] \mathrm{d} z ao longo do segmento de reta \gamma que liga os pontos z_{0}=0 e z_{1}=-1+2 \iota

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{\gamma}\bigl[(4xy - y^{2}) + \imath(3xy^{2} + 3x^{2}y)\bigr]\,\mathrm{d}z
ao longo do segmento de reta \gamma que vai de z_{0}=0 até z_{1}=-1+2\imath.
O conteúdo principal é a parametrização de uma integral de linha em variável complexa, usando z(t) e \mathrm{d}z=z'(t)\,\mathrm{d}t.

Passo 2

Parametrizamos o segmento por
z(t)=z_{0}+t\,(z_{1}-z_{0})=t\,\bigl(-1+2\imath\bigr), \quad t\in[0,1].
Daí
x(t)=\Re(z(t))=-t, \quad y(t)=\Im(z(t))=2t, \quad \mathrm{d}z=z'(t)\,\mathrm{d}t=\bigl(-1+2\imath\bigr)\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Substituímos x(t) e y(t) na parte real e imaginária do integrando:
4xy - y^{2} =4(-t)(2t)-(2t)^{2}=-8t^{2}-4t^{2}=-12t^{2},
3xy^{2}+3x^{2}y =3\bigl(-t\bigr)\,(2t)^{2}+3\bigl(-t\bigr)^{2}(2t) =3(-4t^{3})+3(2t^{3})=-12t^{3}+6t^{3}=-6t^{3}.
Logo
f\bigl(z(t)\bigr) =-12t^{2} + \imath\,\bigl(-6t^{3}\bigr) =-12t^{2}-6\imath\,t^{3}.

Passo 4

Agora montamos o integrando em t:
f(z(t))\,\mathrm{d}z =\bigl(-12t^{2}-6\imath\,t^{3}\bigr)\,\bigl(-1+2\imath\bigr)\,\mathrm{d}t.
Fazendo a multiplicação
(-12t^{2})(-1+2\imath)=12t^{2}-24\imath\,t^{2},
(-6\imath\,t^{3})(-1+2\imath) =6\imath\,t^{3}-12\bigl(\imath^{2}\bigr)t^{3} =6\imath\,t^{3}+12t^{3},
somando:
f(z(t))\,\mathrm{d}z =\bigl(12t^{2}+12t^{3}\bigr) +\imath\bigl(-24t^{2}+6t^{3}\bigr) \;\mathrm{d}t.

Passo 5

Integramos de t=0 a 1 separando parte real e imaginária:
\text{Re}=\int_{0}^{1}(12t^{2}+12t^{3})\,\mathrm{d}t =12\Bigl[\tfrac{t^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} +12\Bigl[\tfrac{t^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{1} =4+3=7,
\text{Im}=\int_{0}^{1}(-24t^{2}+6t^{3})\,\mathrm{d}t =-24\Bigl[\tfrac{t^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} +6\Bigl[\tfrac{t^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{1} =-8+1{,}5=-\tfrac{13}{2}.
Portanto a integral vale
7 - \tfrac{13}{2}\,\imath.

Resposta

7 - \tfrac{13}{2}\,\imath

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