ptos) Dada
a. Prove que
é a parte real de uma função analítica
b. Calcule
e encontre a função
sabendo que
a. Prove que
b. Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
a) mostrar que existe uma função analítica (isto é, provar que
satisfaz as equações de Cauchy–Riemann e, assim, é parte real de uma função holomorfa);
b) calcular e, a partir dele, achar
impondo
.
a) mostrar que existe uma função analítica
b) calcular
Conteúdo: equações de Cauchy–Riemann para determinar
, depois uso de
e integração em termos de
.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
:
Para que
seja parte real de uma função analítica, devemos ter as equações de Cauchy–Riemann:
Logo procuramos
tal que
Passo 3
Integramos
em relação a
:
onde
é função arbítraria de
.
Agora impomos . Calculando
Agora impomos
temos
Integrando em
:
Podemos absorver a constante
em
. Assim
Isso conclui a parte (a):
satisfaz Cauchy–Riemann e gera
Passo 4
Para funções holomorfas vale
Já sabemos
Escrevendo em termos de
:
Logo
Passo 5
Integramos
onde
é constante complexa. Como
, temos
Portanto