\left(\mathbf{2 , 0}\right. ptos) Dada u(x, y)=1-9 x y^{2}+4 y^{2}+3 x^{3}-4 x^{2}+x
a. Prove que u(x, y) é a parte real de uma função analítica f(z)=u(x, y)+\imath \cdot v(x, y)
b. Calcule f^{\prime}(z) e encontre a função f(z) sabendo que f(1)=-31

Passo 1

O enunciado dá a função
u(x,y)=1-9xy^{2}+4y^{2}+3x^{3}-4x^{2}+x
e pede:
a) mostrar que existe uma função analítica f(z)=u(x,y)+\imath\,v(x,y) (isto é, provar que u satisfaz as equações de Cauchy–Riemann e, assim, é parte real de uma função holomorfa);
b) calcular f'(z) e, a partir dele, achar f(z) impondo f(1)=-31.
Conteúdo: equações de Cauchy–Riemann para determinar v, depois uso de f'(z)=u_x+\imath\,v_x e integração em termos de z.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de u:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(1-9xy^{2}+4y^{2}+3x^{3}-4x^{2}+x\bigr) = -9y^{2}+9x^{2}-8x+1,
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(1-9xy^{2}+4y^{2}+3x^{3}-4x^{2}+x\bigr) = -18xy+8y.
Para que u seja parte real de uma função analítica, devemos ter as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.
Logo procuramos v(x,y) tal que
v_x = -\,u_y = 18xy -8y, \quad v_y = u_x = 9x^{2}-8x-9y^{2}+1.

Passo 3

Integramos v_x em relação a x:
v(x,y) = \int(18xy-8y)\,dx = 9x^{2}y -8xy + h(y),
onde h(y) é função arbítraria de y.
Agora impomos v_y = 9x^{2}-8x-9y^{2}+1. Calculando
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(9x^{2}y -8xy + h(y)\bigr) = 9x^{2}-8x + h'(y),
temos
9x^{2}-8x + h'(y) = 9x^{2}-8x -9y^{2}+1 \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -9y^{2}+1.
Integrando em y:
h(y) = \int(-9y^{2}+1)\,dy = -3y^{3}+y + C.
Podemos absorver a constante C em f. Assim
v(x,y) = 9x^{2}y -8xy -3y^{3} + y.
Isso conclui a parte (a): u satisfaz Cauchy–Riemann e gera
f(z)=u(x,y)+\imath\,v(x,y).

Passo 4

Para funções holomorfas vale
f'(z)=u_x + \imath\,v_x.
Já sabemos
u_x = 9x^{2}-8x-9y^{2}+1, \quad v_x = 18xy -8y.
Escrevendo em termos de z=x+\imath y:
9x^{2}-9y^{2}-8x+1 + \imath\,(18xy-8y) =9(x^{2}-y^{2})-8x+1 + \imath\bigl(9\cdot2xy -8y\bigr) =9z^{2}-8z+1.
Logo
f'(z)=9z^{2}-8z+1.

Passo 5

Integramos
f(z)=\int(9z^{2}-8z+1)\,dz =3z^{3}-4z^{2}+z + K,
onde K é constante complexa. Como f(1)=-31, temos
f(1)=3\cdot1^{3}-4\cdot1^{2}+1+K = (3-4+1)+K=0+K = K = -31.
Portanto
f(z)=3z^{3}-4z^{2}+z -31.

Resposta

f'(z)=9z^{2}-8z+1
f(z)=3z^{3}-4z^{2}+z -31

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