resolva o problema de valor inicial dado.
Nos problemas de 15 a 18 , resolva o problema de valor inicial dado.
Descreva o comportamento da solução quando t \rightarrow \infty.
15. \quad \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}5 & -1 \\\\ 3 & 1\end{array}\right) \mathbf{x}, \quad \mathbf{x}(0)=\binom{2}{-1}
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
que é um sistema linear de ODEs com matrizes constantes. Vamos usar o método de autovalores e autovetores para obter a solução geral e depois aplicar a condição inicial. Por fim, analisaremos o comportamento de \mathbf{x}(t) quando t\to\infty.
Como e^{4t} cresce mais rápido que e^{2t} quando t\to\infty, a componente associada a \lambda_1=4 domina. Assim \|\mathbf{x}(t)\|\to\infty e a direção da solução aproxima-se de (1,1)^\top.