Lembrando que o Wronskiano de três funções f, g e h as quais têm primeira e segunda derivada, é definido como o determinante da matriz 3 \times 3 dada pelas funções na primeira linha, as primeiras derivadas das funções na segunda linha e as segundas derivadas na terceira, isto é,
\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} f & g & h \\\ f^{\prime} & g^{\prime} & h^{\prime} \\\ f^{\prime \prime} & g^{\prime \prime} & h^{\prime \prime} \end{array}\right)
calcule o Wronskiano dos seguintes conjuntos de funções e determine o conjunto de pontos onde é diferente de zero.
\left\{e^{2 x}, 4 e^{-2 x}, e^{-x}\right\}

Passo 1

O enunciado pede o Wronskiano das funções
\,f(x)=e^{2x},\;g(x)=4e^{-2x},\;h(x)=e^{-x},
que por definição é o determinante da matriz
\begin{pmatrix} f & g & h\\\ f'&g'&h'\\\ f''&g''&h'' \end{pmatrix}.
Para resolver vamos calcular derivadas, montar essa matriz e calcular seu determinante.

Passo 2

Calculemos as derivadas até a segunda ordem:
f(x)=e^{2x}
f'(x)=2e^{2x},\quad f''(x)=4e^{2x}.
g(x)=4e^{-2x}
g'(x)=-8e^{-2x},\quad g''(x)=16e^{-2x}.
h(x)=e^{-x}
h'(x)=-e^{-x},\quad h''(x)=e^{-x}.

Passo 3

A matriz do Wronskiano fica
M=\begin{pmatrix} e^{2x} & 4e^{-2x} & e^{-x}\\\\ 2e^{2x}&-8e^{-2x}&-e^{-x}\\\\ 4e^{2x}&16e^{-2x}&e^{-x} \end{pmatrix}.
Note que podemos fatorar de cada coluna:
\text{col}_1:e^{2x},\quad \text{col}_2:4e^{-2x},\quad \text{col}_3:e^{-x},
ficando
\det M = e^{2x}\,\bigl(4e^{-2x}\bigr)\,(e^{-x}) \;\det\begin{pmatrix} 1&1&1\\\\ 2&-2&-1\\\\ 4&4&1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calculemos o determinante interno:
\det\begin{pmatrix} 1&1&1\\\\ 2&-2&-1\\\\ 4&4&1 \end{pmatrix} =1\cdot\bigl((-2)\cdot1-(-1)\cdot4\bigr) -1\cdot\bigl(2\cdot1-(-1)\cdot4\bigr) +1\cdot\bigl(2\cdot4-(-2)\cdot4\bigr) =2-6+16=12.

Passo 5

Logo
\det M = e^{2x}\,\bigl(4e^{-2x}\bigr)\,(e^{-x})\times12 =48\,e^{-x}.
Como e^{-x}>0 para todo x, concluímos que o Wronskiano nunca zera.

Resposta

O Wronskiano é
48\,e^{-x},
que é diferente de zero para todo x\in\mathbb{R}.

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