Encontre todos os autovalores e autovetores das matrizes abaixo:
(ll1 & 2 1 & 0)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os autovalores e autovetores da matriz
A = 1 & 2 [6pt] 1 & 0
O conteúdo necessário envolve calcular o polinômio característico via determinante de A - lambda I, achar as raízes lambda e em seguida resolver (A - lambda I)x=0 para cada valor próprio.]

Passo 2

Vamos montar e calcular o determinante de A - lambda I:
A - lambda I = 1-lambda & 2 [4pt] 1 & -lambda,
det(A - lambda I) = (1-lambda)(-lambda) - 2cdot1 = -lambda + lambda^2 - 2 = lambda^2 - lambda - 2 ]

Passo 3

Resolvendo o polinômio característico lambda^2 - lambda - 2 = 0, temos
lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32,
logo os autovalores são
lambda1 = 2 e lambda2 = -1.

Passo 4

Para lambda1 = 2 resolvemos
(A - 2I)x = -1 & 2 [4pt] 1 & -2 x [4pt] y = 0 [4pt] 0
A equação principal é -x + 2y = 0, ou seja y = tfracx2. Tomando x=2 para simplificar, obtemos o autovetor
2 [4pt] 1.]

Passo 5

Para lambda2 = -1 resolvemos
(A + I)x = 2 & 2 [4pt] 1 & 1 x [4pt] y = 0 [4pt] 0
A equação é 2x + 2y = 0, ou seja y = -x. Escolhendo x=1, o autovetor é
1 [4pt] -1.]

Resposta

Os autovalores e autovetores da matriz A são:
lambda1 = 2 com autovetor 2 1, e
lambda2 = -1 com autovetor 1 -1.

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