Encontre a transformação linear T: R^2 R^2, tal que T tenha autovalores lambda1=-2 e lambda2=3 associados aos autovetores v1=(3,1) e v2=(-2,1).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T: R^2to R^2 que tenha autovalores lambda1=-2 e lambda2=3 associados, respectivamente, aos autovetores v1=(3,1) e v2=(-2,1). O conteúdo aqui é diagonalização: se montamos a matriz P cujas colunas são os autovetores e a matriz diagonal D com os autovalores, então a matriz de T na base canônica é
A = P,D,P^-1

Passo 2

Montamos as matrizes P e D:
P = 3 & -2 1 & 1
D = -2 & 0 0 & 3

Passo 3

Calculamos det P e P^-1.
det P = 3cdot1 - (-2)cdot1 = 5,
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P^-1 = 1det P1 & 2 -1 & 3 = 151 & 2 -1 & 3

Passo 4

Agora computamos
A = P,D,P^-1
Primeiro P,D escala cada coluna de P pelos autovalores:
P,D = l[-2,v1;|;3,v2r] = -6 & -6 -2 & 3
Em seguida
A = -6 & -6 -2 & 3 cdot 151 & 2 -1 & 3 = 15 -6cdot1 +(-6)cdot(-1) & -6cdot2 +(-6)cdot3 -2cdot1 + 3cdot(-1) & -2cdot2 +3cdot3 = 0 & -6 -1 & 1

Resposta

A matriz de T na base canônica é
0 & -6 -1 & 1,
ou seja, para todo (x,y)in R^2,
T(x,y) = l(-6,y,,-x + yr)

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