Encontre todos os autovetores associados a cada autovalor dado.
(c) [llll3 & 0 & 2 & 0 1 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 4], lambda=4.

Passo 1

Temos a matriz
A = 3 & 0 & 2 & 0 1 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 4
e o autovalor lambda=4. Para encontrar os autovetores, vamos resolver
(A - 4I),v = 0,
já que um vetor não nulo v é autovetor se e somente se Av = 4v.

Passo 2

Calculamos
A - 4I = 3-4 & 0 & 2 & 0 1 & 3-4 & 1 & 0 0 & 1 & 1-4 & 0 0 & 0 & 0 & 4-4 = -1 & 0 & 2 & 0 1 & -1& 1 & 0 0 & 1 & -3 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Passo 3

Escrevemos o sistema homogêneo (A-4I)(x,y,z,w)^T=0:
-,x + 2z = 0, x - y + z = 0, y - 3z = 0, 0 = 0

Passo 4

Da primeira equação vem x = 2z. Substituindo na segunda,
2z - y + z = 0 ;Longrightarrow; y = 3z
A terceira diz a mesma coisa ( y=3z), e a quarta não impõe restrição, de modo que w é livre.

Passo 5

Tomando s = z e t = w como parâmetros livres, o vetor genérico é
(x,y,z,w) = (2s,,3s,,s,,t) = s,(2,3,1,0) + t,(0,0,0,1)
Portanto o espaço próprio de lambda=4 é gerado pelos vetores (2,3,1,0) e (0,0,0,1).

Resposta

Todos os autovetores associados a lambda=4 são os vetores da forma
v = s2310 + t0001,
com s,tinR e não ambos zero.

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