Seja
. Em
considere as seguintes operações:
I)
;
II)
.
Mostre que o
é um espaço vetorial.
I)
II)
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
com as operações
é um espaço vetorial sobre
.
Para isso precisamos verificar as oito propriedades axiomáticas de espaço vetorial, usando apenas as propriedades já conhecidas do corpo .
Para isso precisamos verificar as oito propriedades axiomáticas de espaço vetorial, usando apenas as propriedades já conhecidas do corpo
Passo 2
Fechamento em soma e em multiplicação escalar.
- Se
e estão em , então para todo . Como , segue que . - Se
e , então para todo , logo .
Passo 3
Associatividade e comutatividade da soma.
- Associatividade: para quaisquer
, , em ,
em cada coordenada, pois a soma em
é associativa.
2. Comutatividade:
2. Comutatividade:
pois a soma em
é comutativa.
Passo 4
Existência do vetor zero e inverso aditivo.
- Defina o vetor zero
. Para qualquer ,
- Para
, o inverso aditivo é , pois
Passo 5
Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de vetores e à soma de escalares.
- Para
e , ,
- Para
e ,
Passo 6
Compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação em
e elemento neutro escalar.
- Para
e ,
- Para o escalar
e ,
Resposta
Concluímos que todas as oito propriedades de um espaço vetorial sobre
são satisfeitas, logo
é de fato um espaço vetorial.