Seja R^n=(a1, cdots, an) ; ai in R, i=1, cdots, n, n >= 1. Em R^n considere as seguintes operações:
I) (a1, cdots, an)+(b1, cdots, bn)=(a1+b1, cdots, an+bn);
II) lambda(a1, cdots, an)=(lambda a1, cdots, lambda an) ; lambda in R.
Mostre que o R^n é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que R^n com as operações
(a1,dots,an)+(b1,dots,bn)=(a1+b1,dots,an+bn),
lambda,(a1,dots,an)=(lambda a1,dots,lambda an)
é um espaço vetorial sobre R.
Para isso precisamos verificar as oito propriedades axiomáticas de espaço vetorial, usando apenas as propriedades já conhecidas do corpo R.

Passo 2

Fechamento em soma e em multiplicação escalar.
  1. Se (a1,dots,an) e (b1,dots,bn) estão em R^n, então ai,biinR para todo i. Como ai+biinR, segue que (a1+b1,dots,an+bn)inR^n.
  2. Se lambdainR e (a1,dots,an)inR^n, então lambda aiinR para todo i, logo (lambda a1,dots,lambda an)inR^n.

Passo 3

Associatividade e comutatividade da soma.
  1. Associatividade: para quaisquer u=(ai), v=(bi), w=(ci) em R^n,
(u+v)+w = l(ai+bir)+ci = ai + (bi+ci) = u + (v+w)
em cada coordenada, pois a soma em R é associativa.
2. Comutatividade:
u+v=(ai+bi)=(bi+ai)=v+u
pois a soma em R é comutativa.

Passo 4

Existência do vetor zero e inverso aditivo.
  1. Defina o vetor zero 0=(0,dots,0). Para qualquer u=(ai),
u+0=(ai+0)=(ai)=u, 0+u=u
  1. Para u=(ai), o inverso aditivo é -u=(-ai), pois
u+(-u)=(ai+(-ai))=(0,dots,0)=0

Passo 5

Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de vetores e à soma de escalares.
  1. Para lambdainR e u=(ai), v=(bi),
lambda,(u+v)=lambda,(ai+bi)=(lambda(ai+bi))=(lambda ai+lambda bi)=lambda u + lambda v
  1. Para lambda,muinR e v=(ai),
(lambda+mu),v = l((lambda+mu)air) = (lambda ai + mu ai) = lambda v + mu v

Passo 6

Compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação em R e elemento neutro escalar.
  1. Para lambda,muinR e v=(ai),
(lambdamu),v = l((lambdamu)air) = lambda,(mu ai) = lambda,(mu v)
  1. Para o escalar 1inR e v=(ai),
1cdot v = (1cdot ai) = (ai) = v

Resposta

Concluímos que todas as oito propriedades de um espaço vetorial sobre R são satisfeitas, logo R^n é de fato um espaço vetorial.

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