Encontre todos os números complexos z que satisfazem |z-4 i|=2.

Passo 1

O enunciado pede todos os números complexos z cuja distância até o ponto 4i no plano complexo é 2. O conteúdo aqui é a geometria de números complexos: o conjunto zcolon |z - z0|=r é a circunferência de centro z0 e raio r. Para resolver, vamos escrever z na forma x+iy e usar a definição de módulo.

Passo 2

Seja z = x + i y com x,yinR. Então
|z - 4i| = |,x + i(y-4),| = raizx^2 + (y-4)^2
A condição |z-4i|=2 implica
x^2 + (y-4)^2 = 2^2 = 4

Passo 3

A equação
x^2 + (y-4)^2 = 4
é a circunferência de centro (0,4) e raio 2. Logo todos os z satisfazem
z = x + i y com x^2 + (y-4)^2 = 4

Passo 4

Uma forma paramétrica clássica é
z = 4i + 2e^itheta, thetain[0,2pi)

Resposta

Todos os zinC tais que
x^2 + (y-4)^2 = 4,
ou, equivalentemente,
z = 4i + 2e^itheta, thetain[0,2pi)

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