Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos.
y=x^3, y=x, x >= 0 ; em torno do eixo x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas ,y=x^3 e ,y=x. O conteúdo é sólidos de revolução pelo método das seções transversais (discos e anéis). Vamos precisar achar as interseções, esboçar a região e montar a integral de volume.

Passo 2

Para achar as interseções resolvemos
x^3 = x ;Longrightarrow; x(x^2 - 1)=0;Longrightarrow; x=0,pm1
Como x>=0, os pontos são (0,0) e (1,1).
Esboço: no intervalo 0<= x<=1, a curva y=x fica acima de y=x^3. Uma secção em x fixo, perpendicular ao eixo x, ao girar gera um anel (washer).

Passo 3

Nessa secção típica, o raio externo é
R(x)=ysuperior=x,
e o raio interno é
r(x)=yinferior=x^3
A área do anel vale
A(x)=pil[R(x)^2 - r(x)^2r] =pil(x^2 - (x^3)^2r) =pil(x^2 - x^6r)

Passo 4

O volume é
V = integralx=0^1 A(x),dx = pi integral0^1 l(x^2 - x^6r),dx = pi l[x^33 - x^77r]0^1 = pil(tfrac13 - tfrac17r) = picdot 421

Resposta

V = 4pi21

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