Exercícios de Sistemas Lineares de EDOs
[3.5Ptos] Determine a solução geral do sistema, considerando o valor de seu número de ordem na lista da disciplina:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) lineares. Precisamos usar conhecimentos de sistemas lineares de EDOs, como matrizes e métodos de resolução de sistemas. Vamos resolver passo a passo para entender direitinho como chegar na solução.
Vemos que temos três equações envolvendo as funções x1(t) , x2(t) e x3(t) . Nosso objetivo é encontrar expressões para essas funções que satisfaçam todas as equações.
Passo 3
Vamos começar simplificando a terceira equação para entender melhor. A terceira equação é:
x3(t) = x1(t) - x2(t) + x3(t) + N0
Vamos isolar os termos:
Subtraindo x3(t) de ambos os lados:
0 = x1(t) - x2(t) + N0
Isso nos dá uma relação direta entre x1(t) e x2(t) :
x1(t) = x2(t) - N0
Passo 4
Agora que temos x1(t) em termos de x2(t) , podemos substituir essa expressão na primeira equação para reduzir o sistema. A primeira equação é:
e^ - (41 - N0) t x2(t) = integral - (40 - N0)N0 e^ - (41 - N0) t dt + C
Resolvendo a integral:
e^ - (41 - N0) t x2(t) = (40 - N0)N041 - N0 e^ - (41 - N0) t + C
Multiplicando ambos os lados por e^(41 - N0) t :
x2(t) = (40 - N0)N041 - N0 + C e^(41 - N0) t
Passo 6
Agora que temos x2(t) , podemos encontrar x1(t) usando a relação que encontramos anteriormente:
x1(t) = x2(t) - N0 = (40 - N0)N041 - N0 - N0 + C e^(41 - N0) t
Simplificando:
x1(t) = (40 - N0)N0 - N0(41 - N0)41 - N0 + C e^(41 - N0) t
x1(t) = 40N0 - N0^2 - 41N0 + N0^241 - N0 + C e^(41 - N0) t
x1(t) = -N041 - N0 + C e^(41 - N0) t
Passo 7
Por fim, usando novamente a relação x1(t) = x2(t) - N0 , já encontramos as expressões para x1(t) e x2(t) . Quanto a x3(t) , lembramos que:
x3(t) = x1(t) - x2(t) + x3(t) + N0
Que simplificou para:
x1(t) = x2(t) - N0
Isso significa que x3(t) pode ser qualquer função que satisfaça essa relação, então ele não está restrito além do que já encontramos para x1(t) e x2(t) .
Resposta
A solução geral do sistema é:
x1(t) = dfrac -N0 41 - N0 + C e^(41 - N0) t x2(t) = dfrac (40 - N0)N0 41 - N0 + C e^(41 - N0) t x3(t) livre, satisfazendo x1(t) = x2(t) - N0
Onde C é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.