Exercícios de Sistemas Lineares de EDOs
[3.5Ptos] Determine a solução geral do sistema, considerando o valor de N0 seu número de ordem na lista da disciplina:
l x1^prime(t)=(40-N0) x1(t)+x2(t) x2^prime(t)=5 x2(t)+x3(t)+cos (t) x3(t)=x1(t)-x2(t)+x3(t)+N0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) lineares. Precisamos usar conhecimentos de sistemas lineares de EDOs, como matrizes e métodos de resolução de sistemas. Vamos resolver passo a passo para entender direitinho como chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o sistema que foi dado:
l x1^prime(t) = (40 - N0) x1(t) + x2(t) x2^prime(t) = 5 x2(t) + x3(t) + cos(t) x3(t) = x1(t) - x2(t) + x3(t) + N0
Vemos que temos três equações envolvendo as funções x1(t) , x2(t) e x3(t) . Nosso objetivo é encontrar expressões para essas funções que satisfaçam todas as equações.

Passo 3

Vamos começar simplificando a terceira equação para entender melhor. A terceira equação é:
x3(t) = x1(t) - x2(t) + x3(t) + N0
Vamos isolar os termos:
Subtraindo x3(t) de ambos os lados:
0 = x1(t) - x2(t) + N0
Isso nos dá uma relação direta entre x1(t) e x2(t) :
x1(t) = x2(t) - N0

Passo 4

Agora que temos x1(t) em termos de x2(t) , podemos substituir essa expressão na primeira equação para reduzir o sistema. A primeira equação é:
x1^prime(t) = (40 - N0) x1(t) + x2(t)
Substituindo x1(t) = x2(t) - N0 :
ddt [x2(t) - N0] = (40 - N0)(x2(t) - N0) + x2(t)
Simplificando o lado esquerdo:
x2^prime(t) = (40 - N0)x2(t) - (40 - N0)N0 + x2(t)
Juntando os termos de x2(t) :
x2^prime(t) = (41 - N0)x2(t) - (40 - N0)N0

Passo 5

Agora temos uma equação diferencial apenas para x2(t) :
x2^prime(t) - (41 - N0)x2(t) = - (40 - N0)N0
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante. A forma geral é:
dydt + P(t)y = Q(t)
No nosso caso:
P(t) = -(41 - N0), Q(t) = - (40 - N0)N0
O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^ - (41 - N0) t
Multiplicando toda a equação por mu(t) :
e^ - (41 - N0) t x2^prime(t) - (41 - N0) e^ - (41 - N0) t x2(t) = - (40 - N0)N0 e^ - (41 - N0) t
O lado esquerdo agora é a derivada de mu(t) x2(t) :
ddt [ e^ - (41 - N0) t x2(t) ] = - (40 - N0)N0 e^ - (41 - N0) t
Integrando ambos os lados:
e^ - (41 - N0) t x2(t) = integral - (40 - N0)N0 e^ - (41 - N0) t dt + C
Resolvendo a integral:
e^ - (41 - N0) t x2(t) = (40 - N0)N041 - N0 e^ - (41 - N0) t + C
Multiplicando ambos os lados por e^(41 - N0) t :
x2(t) = (40 - N0)N041 - N0 + C e^(41 - N0) t

Passo 6

Agora que temos x2(t) , podemos encontrar x1(t) usando a relação que encontramos anteriormente:
x1(t) = x2(t) - N0 = (40 - N0)N041 - N0 - N0 + C e^(41 - N0) t
Simplificando:
x1(t) = (40 - N0)N0 - N0(41 - N0)41 - N0 + C e^(41 - N0) t
x1(t) = 40N0 - N0^2 - 41N0 + N0^241 - N0 + C e^(41 - N0) t
x1(t) = -N041 - N0 + C e^(41 - N0) t

Passo 7

Por fim, usando novamente a relação x1(t) = x2(t) - N0 , já encontramos as expressões para x1(t) e x2(t) . Quanto a x3(t) , lembramos que:
x3(t) = x1(t) - x2(t) + x3(t) + N0
Que simplificou para:
x1(t) = x2(t) - N0
Isso significa que x3(t) pode ser qualquer função que satisfaça essa relação, então ele não está restrito além do que já encontramos para x1(t) e x2(t) .

Resposta

A solução geral do sistema é:
x1(t) = dfrac -N0 41 - N0 + C e^(41 - N0) t x2(t) = dfrac (40 - N0)N0 41 - N0 + C e^(41 - N0) t x3(t) livre, satisfazendo x1(t) = x2(t) - N0
Onde C é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados