Seja z=-3+4 i. Determine:
(a) O conjugado de z.
(b) O inverso multiplicativo de z.
(c) O valor de zbarz.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z = -3 + 4i
e pede três coisas:
– (a) o conjugado de z;
– (b) o inverso multiplicativo de z;
– (c) o valor de tfraczbar z.
O conteúdo principal aqui é álgebra de números complexos: conjugação, módulo, recíproco e divisão de complexos.

Passo 2

O conjugado de um número complexo troca o sinal da parte imaginária. Assim, a partir de
z = -3 + 4i
temos
z = -3 - 4i

Passo 3

Para encontrar o inverso multiplicativo de z, usamos a fórmula
z^-1 = 1z = zlvert zrvert^2
Primeiro calculamos o quadrado do módulo:
lvert zrvert^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
Logo,
z^-1 = -3 - 4i25 = -325 ;-;425,i

Passo 4

Para calcular
zz,
racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de z, que é z. Assim,
zz = zcdot zz,z = z^2lvert zrvert^2
Já sabemos que lvert zrvert^2=25. Agora,
z^2 = (-3 + 4i)^2 = (-3)^2 + 2cdot(-3)cdot4i + (4i)^2 = 9 - 24i - 16 = -7 - 24i
Portanto,
zz = -7 - 24i25 = -725 ;-;2425,i

Resposta

(a) z = -3 - 4i
(b) z^-1 = -dfrac325 - dfrac425,i
(c) zz = -dfrac725 - dfrac2425,i

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