Encontre todos os números de três algarismos cuja soma dos algarismos seja 12. Quantos números existem?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar todos os números de três algarismos cuja soma dos algarismos seja 12.
  • Dizer quantos números existem.
Informações dadas e convenções que vou usar (peguei estes dados do enunciado):
  • Um número de três algarismos tem algarismos: centena a, dezena b e unidade c.
  • Para ser número de três algarismos vale 1 \le a \le 9 e 0 \le b \le 9, 0 \le c \le 9.
  • A condição é
a + b + c = 12.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a condição para trabalhar com variáveis não-negativas sem a restrição a\ge1. Faço a troca
x = a - 1,
então x \ge 0 e x \le 8 (porque a\le 9). A equação vira
x + b + c = 11,
com x,b,c \ge 0 e ainda teremos que garantir que x\le 8, b\le 9, c\le 9.
Agora conto todas as soluções inteiras não-negativas de
x + b + c = 11
sem me preocupar, por enquanto, com os limites superiores. Para contar soluções inteiras não-negativas de x_1+x_2+x_3 = n usamos o método “stars and bars” (estrelas e barras): o número de soluções é
\binom{n+3-1}{3-1} = \binom{n+2}{2}.
Breve explicação do “stars and bars”: distribuir n unidades (estrelas) entre 3 caixas é equivalente a escolher as 2 posições das barras entre as n+2 espaços; por isso o binomial acima.
Aplicando com n=11:
\binom{11+2}{2} = \binom{13}{2} = \frac{13\cdot12}{2} = 78.
Portanto existem 78 soluções não-negativas de x+b+c=11 sem considerar ainda os limites x\le8, b\le9, c\le9.

Passo 3

Agora preciso eliminar as soluções que violam os limites de dígito (isto é, que fariam a>9 ou b>9 ou c>9). Vou usar o princípio da inclusão-exclusão.
Defino os eventos:
  • A: soluções com x \ge 9 (equivalente a a\ge 10, proibido).
  • B: soluções com b \ge 10.
  • C: soluções com c \ge 10.
Vou calcular |A|, |B|, |C|, e as interseções.
Calcular |A|: se x\ge 9, escrevo x = x' + 9 com x'\ge 0. Substituindo em x+b+c=11
x' + b + c = 2.
Número de soluções não-negativas é
\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6.
Logo |A| = 6.
Calcular |B|: se b\ge 10, escrevo b = b' + 10 com b'\ge0. Substituindo:
x + b' + c = 1.
Número de soluções:
\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3.
Logo |B| = 3. Simetricamente |C| = 3 (mesmo raciocínio para c).

Passo 4

Interseções duplas: por exemplo A\cap B exigiria x\ge9 e b\ge10. Fazendo as duas reduções x=x'+9, b=b'+10 fica
x' + b' + c = 11 - 9 - 10 = -8,
o que é impossível (somatório negativo). Portanto |A\cap B|=0. O mesmo vale para A\cap C e B\cap C, e a interseção tripla também é impossível. Assim todas as interseções são zero.
Pelo princípio da inclusão-exclusão, o número de soluções válidas é
78 - (|A|+|B|+|C|) + (|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|) - |A\cap B\cap C|.
Substituindo os valores:
78 - (6+3+3) + 0 - 0 = 78 - 12 = 66.
Conclusão: existem 66 soluções válidas, ou seja, 66 números de três algarismos com soma dos algarismos igual a 12.

Passo 5

Agora vou listar todos esses números de forma sistemática: para cada centena a=1,2,\dots,9 olho a soma restante S = 12-a e encontro todos os pares (b,c) com b+c=S e 0\le b,c\le9. Para gerar os pares: b varia de \max(0,S-9) até \min(9,S) e c=S-b.
Faço isso por valores de a:
  • Para a=1: S=11. b varia 2 a 9. Números:
\(129\), \(138\), \(147\), \(156\), \(165\), \(174\), \(183\), \(192\).
  • Para a=2: S=10. b varia 1 a 9. Números:
\(219\), \(228\), \(237\), \(246\), \(255\), \(264\), \(273\), \(282\), \(291\).
  • Para a=3: S=9. b varia 0 a 9. Números:
\(309\), \(318\), \(327\), \(336\), \(345\), \(354\), \(363\), \(372\), \(381\), \(390\).
  • Para a=4: S=8. b varia 0 a 8. Números:
\(408\), \(417\), \(426\), \(435\), \(444\), \(453\), \(462\), \(471\), \(480\).
  • Para a=5: S=7. b varia 0 a 7. Números:
\(507\), \(516\), \(525\), \(534\), \(543\), \(552\), \(561\), \(570\).
  • Para a=6: S=6. b varia 0 a 6. Números:
\(606\), \(615\), \(624\), \(633\), \(642\), \(651\), \(660\).
  • Para a=7: S=5. b varia 0 a 5. Números:
\(705\), \(714\), \(723\), \(732\), \(741\), \(750\).
  • Para a=8: S=4. b varia 0 a 4. Números:
\(804\), \(813\), \(822\), \(831\), \(840\).
  • Para a=9: S=3. b varia 0 a 3. Números:
\(903\), \(912\), \(921\), \(930\).
Verificação rápida das quantidades por bloco: 8+9+10+9+8+7+6+5+4 = 66, batendo com o cálculo anterior.

Resposta

129, 138, 147, 156, 165, 174, 183, 192, 219, 228, 237, 246, 255, 264, 273, 282, 291, 309, 318, 327, 336, 345, 354, 363, 372, 381, 390, 408, 417, 426, 435, 444, 453, 462, 471, 480, 507, 516, 525, 534, 543, 552, 561, 570, 606, 615, 624, 633, 642, 651, 660, 705, 714, 723, 732, 741, 750, 804, 813, 822, 831, 840, 903, 912, 921, 930
66

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