Encontre todos os números de três algarismos cuja soma dos algarismos seja 12. Quantos números existem?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar todos os números de três algarismos cuja soma dos algarismos seja
. - Dizer quantos números existem.
Informações dadas e convenções que vou usar (peguei estes dados do enunciado):
- Um número de três algarismos tem algarismos: centena
, dezena e unidade . - Para ser número de três algarismos vale
e , . - A condição é
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a condição para trabalhar com variáveis não-negativas sem a restrição
. Faço a troca
então
e
(porque
). A equação vira
com
e ainda teremos que garantir que
,
,
.
Agora conto todas as soluções inteiras não-negativas de
sem me preocupar, por enquanto, com os limites superiores. Para contar soluções inteiras não-negativas de
usamos o método “stars and bars” (estrelas e barras): o número de soluções é
Breve explicação do “stars and bars”: distribuir
unidades (estrelas) entre 3 caixas é equivalente a escolher as 2 posições das barras entre as
espaços; por isso o binomial acima.
Aplicando com
:
Portanto existem
soluções não-negativas de
sem considerar ainda os limites
.
Passo 3
Agora preciso eliminar as soluções que violam os limites de dígito (isto é, que fariam
ou
ou
). Vou usar o princípio da inclusão-exclusão.
Defino os eventos:
-
: soluções com (equivalente a , proibido). -
: soluções com . -
: soluções com .
Vou calcular
,
,
, e as interseções.
Calcular
: se
, escrevo
com
. Substituindo em
dá
Número de soluções não-negativas é
Logo
.
Calcular
: se
, escrevo
com
. Substituindo:
Número de soluções:
Logo
. Simetricamente
(mesmo raciocínio para
).
Passo 4
Interseções duplas: por exemplo
exigiria
e
. Fazendo as duas reduções
,
fica
o que é impossível (somatório negativo). Portanto
. O mesmo vale para
e
, e a interseção tripla também é impossível. Assim todas as interseções são zero.
Pelo princípio da inclusão-exclusão, o número de soluções válidas é
Substituindo os valores:
Conclusão: existem
soluções válidas, ou seja,
números de três algarismos com soma dos algarismos igual a
.
Passo 5
Agora vou listar todos esses números de forma sistemática: para cada centena
olho a soma restante
e encontro todos os pares
com
e
. Para gerar os pares:
varia de
até
e
.
Faço isso por valores de
:
- Para
: . varia a . Números:
- Para
: . varia a . Números:
- Para
: . varia a . Números:
- Para
: . varia a . Números:
- Para
: . varia a . Números:
- Para
: . varia a . Números:
- Para
: . varia a . Números:
- Para
: . varia a . Números:
- Para
: . varia a . Números:
Verificação rápida das quantidades por bloco:
, batendo com o cálculo anterior.