Encontre todos os números
para os quais
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os números
que satisfazem a desigualdade
Informações fornecidas:
- A desigualdade envolve um polinômio quadrático
. - Queremos o conjunto de todos os
que tornam essa desigualdade verdadeira.
Passo 2
Vamos primeiro colocar tudo de um lado para comparar com zero — isso facilita estudar o sinal do polinômio. Subtraindo
de ambos os lados obtemos
ou seja
Explicação didática rápida: transformar a desigualdade em
é padrão porque o sinal de um polinômio é determinado pelas suas raízes e pelo coeficiente líder; assim podemos usar as raízes para dividir a reta real em intervalos onde o sinal é constante.
Passo 3
Para estudar o sinal de
precisamos achar as raízes da equação associada
Usamos a fórmula quadrática. Para uma equação
, as raízes são dados por
Aqui
,
,
. Calculando o discriminante:
Como
, as raízes são
Portanto as raízes são
Passo 4
Agora usamos a forma da parábola e as raízes para decidir o sinal de
.
- O coeficiente líder é
, logo a parábola abre para cima. Isso significa que o polinômio é positivo nos extremos (quando ) e negativo entre as raízes, se as raízes são reais distintas — que é o caso aqui. - Intuitivamente: para
muito negativo ou muito positivo, o termo domina e torna o valor positivo; entre as duas raízes o polinômio fica abaixo de zero.
Podemos também checar com valores de teste:
- Para
(que está entre e ): . - Para
(maior que ): . - Para
(menor que ): .
Esses testes confirmam que
quando
ou
, e que é negativo quando
. Nas raízes
e
o polinômio é zero (não estritamente positivo), então essas extremidades não entram na solução da desigualdade estrita.
Passo 5
Concluímos o conjunto solução da desigualdade original:
Se quiser decorar um truque rápido para provas: para
com
e raízes distintas
, a solução é
ou
.