Encontre todos os números x para os quais
x^{2}-x+10>16.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os números x que satisfazem a desigualdade
x^{2}-x+10>16.
Informações fornecidas:
  • A desigualdade envolve um polinômio quadrático x^{2}-x+10.
  • Queremos o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que tornam essa desigualdade verdadeira.

Passo 2

Vamos primeiro colocar tudo de um lado para comparar com zero — isso facilita estudar o sinal do polinômio. Subtraindo 16 de ambos os lados obtemos
x^{2}-x+10-16>0,
ou seja
x^{2}-x-6>0.
Explicação didática rápida: transformar a desigualdade em \text{polinômio} > 0ô é padrão porque o sinal de um polinômio é determinado pelas suas raízes e pelo coeficiente líder; assim podemos usar as raízes para dividir a reta real em intervalos onde o sinal é constante.

Passo 3

Para estudar o sinal de x^{2}-x-6 precisamos achar as raízes da equação associada
x^{2}-x-6=0.
Usamos a fórmula quadrática. Para uma equação ax^{2}+bx+c=0, as raízes são dados por
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad\text{onde}\qquad \Delta=b^{2}-4ac.
Aqui a=1, b=-1, c=-6. Calculando o discriminante:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25.
Como \sqrt{\Delta}=\sqrt{25}=5, as raízes são
x=\frac{-(-1)\pm5}{2\cdot1}=\frac{1\pm5}{2}.
Portanto as raízes são
x_{1}=\frac{1+5}{2}=3,\qquad x_{2}=\frac{1-5}{2}=-2.

Passo 4

Agora usamos a forma da parábola e as raízes para decidir o sinal de x^{2}-x-6.
  • O coeficiente líder é a=1>0, logo a parábola abre para cima. Isso significa que o polinômio é positivo nos extremos (quando x\to\pm\infty) e negativo entre as raízes, se as raízes são reais distintas — que é o caso aqui.
  • Intuitivamente: para x muito negativo ou muito positivo, o termo x^{2} domina e torna o valor positivo; entre as duas raízes o polinômio fica abaixo de zero.
Podemos também checar com valores de teste:
  • Para x=0 (que está entre -2 e 3): 0^{2}-0-6=-6<0.
  • Para x=4 (maior que 3): 4^{2}-4-6=16-4-6=6>0.
  • Para x=-3 (menor que -2): (-3)^{2}-(-3)-6=9+3-6=6>0.
Esses testes confirmam que x^{2}-x-6>0 quando x< -2 ou x>3, e que é negativo quando -2<x<3. Nas raízes x=-2 e x=3 o polinômio é zero (não estritamente positivo), então essas extremidades não entram na solução da desigualdade estrita.

Passo 5

Concluímos o conjunto solução da desigualdade original:
x\in(-\infty,-2)\cup(3,\infty).
Se quiser decorar um truque rápido para provas: para ax^{2}+bx+c>0 com a>0 e raízes distintas r_1<r_2, a solução é x<r_1 ou x>r_2.

Resposta

(-\infty,-2)\cup(3,\infty)

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