Prove o seguinte:
\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a \cdot d}{b \cdot c}, se b, c, d \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade
\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c},
sob a hipótese b\neq0, c\neq0 e d\neq0.
Informações dadas:
  • Há três denominares que não podem ser zero: b, c e d.
  • Queremos mostrar que dividir a fração \dfrac{a}{b} pela fração \dfrac{c}{d} é igual ao produto \dfrac{a\cdot d}{b\cdot c}.

Passo 2

Lembrete importante (definição usada): dividir por um número é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso multiplicativo. Mais precisamente, para qualquer x\neq0 existe x^{-1} tal que
x\cdot x^{-1}=1.
Assim, para qualquer fração \dfrac{p}{q} com q\neq0 podemos escrever
\frac{p}{q}=p\cdot \left(\frac{q}{1}\right)^{-1}=p\cdot q^{-1}.
Esta é a ideia que vamos usar: transformar divisões em multiplicações por inversos.

Passo 3

Aplicando a definição ao quociente dado, escrevemos a divisão entre frações como multiplicação pelo inverso:
\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \left(\frac{a}{b}\right)\cdot\left(\frac{c}{d}\right)^{-1}.

Passo 4

Calcular o inverso de \dfrac{c}{d}. Como c\neq0 e d\neq0, a fração \dfrac{c}{d} tem inverso multiplicativo e esse inverso é justamente \dfrac{d}{c}, pois
\frac{c}{d}\cdot\frac{d}{c}=1.
Portanto
\left(\frac{c}{d}\right)^{-1}=\frac{d}{c}.

Passo 5

Substituindo o inverso na expressão do Passo 3:
\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}.
Agora usamos a regra da multiplicação de frações: o produto de \dfrac{u}{v} por \dfrac{x}{y} (com v\neq0 e y\neq0) é
\frac{u}{v}\cdot\frac{x}{y}=\frac{u\cdot x}{v\cdot y}.
Aplicando isso com u=a, v=b, x=d, y=c obtemos
\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}.

Passo 6

Portanto, juntando os passos anteriores, concluímos a igualdade desejada, e o fato de termos suposto b, c e d diferentes de zero garante que todas as inversões e multiplicações são válidas (nenhuma divisão por zero ocorre).

Resposta

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}.

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