Prove o seguinte:
, se
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade
sob a hipótese
,
e
.
Informações dadas:
- Há três denominares que não podem ser zero:
, e . - Queremos mostrar que dividir a fração
pela fração é igual ao produto .
Passo 2
Lembrete importante (definição usada): dividir por um número é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso multiplicativo. Mais precisamente, para qualquer
existe
tal que
Assim, para qualquer fração
com
podemos escrever
Esta é a ideia que vamos usar: transformar divisões em multiplicações por inversos.
Passo 3
Aplicando a definição ao quociente dado, escrevemos a divisão entre frações como multiplicação pelo inverso:
Passo 4
Calcular o inverso de
. Como
e
, a fração
tem inverso multiplicativo e esse inverso é justamente
, pois
Portanto
Passo 5
Substituindo o inverso na expressão do Passo 3:
Agora usamos a regra da multiplicação de frações: o produto de
por
(com
e
) é
Aplicando isso com
,
,
,
obtemos
Passo 6
Portanto, juntando os passos anteriores, concluímos a igualdade desejada, e o fato de termos suposto
,
e
diferentes de zero garante que todas as inversões e multiplicações são válidas (nenhuma divisão por zero ocorre).