Prove o seguinte:
, se
.
Passo 1
O enunciado dá que
e
e pede para provar a igualdade
Informações relevantes fornecidas:
-
são números reais (assumir o conjunto dos reais). -
e são não nulos, então possuem inversos multiplicativos.
A partir disso, devemos demonstrar rigorosamente que o produto de duas frações é a fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores.
Passo 2
Definição usada: para
, a fração
é definida como o produto de
pelo inverso multiplicativo de
. Ou seja,
onde
é o número tal que
Explicação didática: chamar de
é apenas escrever "o número que multiplicado por
dá
". A existência de
é garantida porque
.
Passo 3
Propriedades algébricas que iremos usar (válidas nos reais):
- Associatividade da multiplicação: para quaisquer
tem-se . - Comutatividade da multiplicação: para quaisquer
tem-se . - Se
é inverso multiplicativo de , isto é , então é único e escrevemos .
Vou usar essas propriedades para manipular produtos de forma segura e reordenar fatores quando necessário.
Passo 4
Reescrevendo as duas frações pelos inversos dos denominadores, obtemos
Isto é apenas aplicação direta da definição dada no Passo 2 às duas frações.
Passo 5
Aplicando a associatividade e a comutatividade para agrupar e reordenar os fatores, podemos escrever
Agora, por comutatividade (podemos trocar
e
), obtemos
Aqui foi apenas reordenamento dos fatores, permitido porque multiplicação em
é comutativa.
Passo 6
Mostraremos que
é o inverso multiplicativo de
, ou seja,
De fato, usando associatividade e comutatividade,
Portanto
é o inverso de
, e por definição de inverso isso significa
Passo 7
Substituindo o resultado do Passo 6 na expressão do Passo 5, obtemos
Pela definição de fração (Passo 2) isso é exatamente
Passo 8
Concluímos então que
sempre que
e
, como queríamos provar.
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: calcule
mostrando na prática que funciona.