Prove o seguinte:
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}, se b, d \neq 0.

Passo 1

O enunciado dá que b\neq0 e d\neq0 e pede para provar a igualdade
\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}.
Informações relevantes fornecidas:
  • a,b,c,d são números reais (assumir o conjunto dos reais).
  • b e d são não nulos, então possuem inversos multiplicativos.
    A partir disso, devemos demonstrar rigorosamente que o produto de duas frações é a fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores.

Passo 2

Definição usada: para b\neq0, a fração \dfrac{a}{b} é definida como o produto de a pelo inverso multiplicativo de b. Ou seja,
\frac{a}{b}=a\cdot b^{-1},
onde b^{-1} é o número tal que
b\cdot b^{-1}=1.
Explicação didática: chamar de b^{-1} é apenas escrever "o número que multiplicado por b 1". A existência de b^{-1} é garantida porque b\neq0.

Passo 3

Propriedades algébricas que iremos usar (válidas nos reais):
  • Associatividade da multiplicação: para quaisquer x,y,z tem-se (x y) z = x (y z).
  • Comutatividade da multiplicação: para quaisquer x,y tem-se x y = y x.
  • Se u é inverso multiplicativo de v, isto é u v=1, então u é único e escrevemos u=v^{-1}.
    Vou usar essas propriedades para manipular produtos de forma segura e reordenar fatores quando necessário.

Passo 4

Reescrevendo as duas frações pelos inversos dos denominadores, obtemos
\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=(a\cdot b^{-1})\cdot(c\cdot d^{-1}).
Isto é apenas aplicação direta da definição dada no Passo 2 às duas frações.

Passo 5

Aplicando a associatividade e a comutatividade para agrupar e reordenar os fatores, podemos escrever
(a\cdot b^{-1})\cdot(c\cdot d^{-1}) = a\cdot b^{-1}\cdot c\cdot d^{-1}.
Agora, por comutatividade (podemos trocar b^{-1} e c), obtemos
a\cdot b^{-1}\cdot c\cdot d^{-1} = a\cdot c\cdot b^{-1}\cdot d^{-1}.
Aqui foi apenas reordenamento dos fatores, permitido porque multiplicação em \mathbb{R} é comutativa.

Passo 6

Mostraremos que b^{-1}\cdot d^{-1} é o inverso multiplicativo de b\cdot d, ou seja,
(b^{-1}\cdot d^{-1})\cdot(b\cdot d)=1.
De fato, usando associatividade e comutatividade,
(b^{-1}\cdot d^{-1})\cdot(b\cdot d)=b^{-1}\cdot d^{-1}\cdot b\cdot d = b^{-1}\cdot b\cdot d^{-1}\cdot d =(b^{-1}\cdot b)\cdot(d^{-1}\cdot d)=1\cdot1=1.
Portanto b^{-1}\cdot d^{-1} é o inverso de b\cdot d, e por definição de inverso isso significa
b^{-1}\cdot d^{-1}=(b\cdot d)^{-1}.

Passo 7

Substituindo o resultado do Passo 6 na expressão do Passo 5, obtemos
a\cdot c\cdot b^{-1}\cdot d^{-1}=a\cdot c\cdot (b\cdot d)^{-1}.
Pela definição de fração (Passo 2) isso é exatamente
a\cdot c\cdot (b\cdot d)^{-1}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}.

Passo 8

Concluímos então que
\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},
sempre que b\neq0 e d\neq0, como queríamos provar.
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: calcule
\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{7}=(2\cdot3^{-1})\cdot(5\cdot7^{-1})=2\cdot5\cdot3^{-1}\cdot7^{-1}=10\cdot(3\cdot7)^{-1}=\frac{10}{21},
mostrando na prática que funciona.

Resposta

\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}

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