Seja
um corpo. Verifique as seguintes afirmações.
(1) Um polinômio
de grau 1 é sempre irredutível.
(2) Um polinômio
de grau 2 ou 3 é irredutível se e somente
não tem raiz em
.
(3) Um polinômio
é irredutível se e somente se grau
.
(4) Um polinômio
é irredutível se e somente se uma das seguinte condições está válida:
(a)
;
(b) grau
e
não tem raízes reais.
(1) Um polinômio
(2) Um polinômio
(3) Um polinômio
(4) Um polinômio
(a)
(b) grau
Passo 1
O enunciado pede para verificar quatro afirmações sobre quando um polinômio é irreduzível, usando os objetos: definição de corpo
, o conceito de polinômio irreduzível em
, corpo alg. fechado e fatoração em
e
.
Passo 2
Definição: um polinômio
em
é irreduzível se não existe fatoração
em que
tenham grau ≥1 e menor que o de
. Para grau 1, digamos
com
. Se tentássemos uma quebra não-trivial, um dos fatores teria grau 0 (constante), pois os graus teriam que somar 1. Logo não há fatoração não-trivial, e todo polinômio de grau 1 é irreduzível.
Passo 3
Para grau 2 ou 3 em
: se
tiver uma raiz
, então
é fator de grau 1, e o outro fator tem grau 1 ou 2, mostrando que
é reduzível. Recíproco: se
for reduzível, um dos fatores não-constantes deve ter grau 1 (único divisor de 2 ou 3), dando uma raiz em
. Portanto irreduzível se e somente se não tem raiz.
Passo 4
Em
, por ser corpo alg. fechado (teorema fundamental da álgebra), todo polinômio de grau ≥1 se fatora em fatores lineares. Logo só os de grau 1 não se quebram em fatores de grau ≥1, e são os únicos irreduzíveis em
.
Passo 5
Em
, todo polinômio se fatora em fatores lineares (raízes reais) e em fatores quadráticos sem raízes reais. Assim os únicos irreduzíveis são exatamente os de grau 1 e os quadráticos que não têm raízes reais.
Resposta
As quatro afirmações são verdadeiras.