Seja K um corpo. Verifique as seguintes afirmações.
(1) Um polinômio f(x) in K[x] de grau 1 é sempre irredutível.
(2) Um polinômio f(x) in K[x] de grau 2 ou 3 é irredutível se e somente f(x) não tem raiz em K.
(3) Um polinômio f(x) in C[x] é irredutível se e somente se grau f=1.
(4) Um polinômio f(x) in R[x] é irredutível se e somente se uma das seguinte condições está válida:
(a) grau f(x)=1;
(b) grau f(x)=2 e f(x) não tem raízes reais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar quatro afirmações sobre quando um polinômio é irreduzível, usando os objetos: definição de corpo K, o conceito de polinômio irreduzível em K[x], corpo alg. fechado e fatoração em R[x] e C[x].

Passo 2

Definição: um polinômio f em K[x] é irreduzível se não existe fatoração f=gh em que g,h tenham grau ≥1 e menor que o de f. Para grau 1, digamos f(x)=ax+b com aneq0. Se tentássemos uma quebra não-trivial, um dos fatores teria grau 0 (constante), pois os graus teriam que somar 1. Logo não há fatoração não-trivial, e todo polinômio de grau 1 é irreduzível.

Passo 3

Para grau 2 ou 3 em K[x]: se f tiver uma raiz alphain K, então x-alpha é fator de grau 1, e o outro fator tem grau 1 ou 2, mostrando que f é reduzível. Recíproco: se f for reduzível, um dos fatores não-constantes deve ter grau 1 (único divisor de 2 ou 3), dando uma raiz em K. Portanto irreduzível se e somente se não tem raiz.

Passo 4

Em C[x], por ser corpo alg. fechado (teorema fundamental da álgebra), todo polinômio de grau ≥1 se fatora em fatores lineares. Logo só os de grau 1 não se quebram em fatores de grau ≥1, e são os únicos irreduzíveis em C[x].

Passo 5

Em R[x], todo polinômio se fatora em fatores lineares (raízes reais) e em fatores quadráticos sem raízes reais. Assim os únicos irreduzíveis são exatamente os de grau 1 e os quadráticos que não têm raízes reais.

Resposta

As quatro afirmações são verdadeiras.

Exercícios relacionados