Escrever a expansão das seguintes séries de potências:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}

Passo 1

O enunciado pede para escrever a expansão em potências de x da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}.
O conteúdo envolve reconhecer o termo geral e listar os primeiros termos para identificar o padrão da série de potências.

Passo 2

Para cada n substituímos na fórmula \frac{x^{n+1}}{n+1} e listamos os primeiros termos:
\frac{x^{0+1}}{0+1} = x, \quad \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}, \quad \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}, \quad \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}, \;\dots
Logo, a expansão torna-se uma soma infinita cujos termos são esses.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \cdots

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