(3,5 pontos) Supondo que as funções diferenciáveis y=y(x) e z=z(x), z>0, sejam definidas implicitamente pelo sistema
\left\{\begin{array}{r} x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \\\ x+y+z=2 \end{array}\right.
determinar as derivadas \frac{d y}{d x} e \frac{d z}{d x}.

Passo 1

O enunciado define duas funções implícitas y=y(x)\) e \(z=z(x)\), com \(z>0\), pelo sistema \[\begin{cases} x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,\\\ x+y+z=2. \end{cases}
O conteúdo aqui é diferenciação implícita aplicada a um sistema de duas equações, e precisamos usar derivação em cada equação e depois resolver o sistema linear para \frac{dy}{dx}\] e \(\frac{dz}{dx}.

Passo 2

Diferenciando implicitamente a primeira equação em relação a x, temos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)=0
Logo,
2x + 2y\,\frac{dy}{dx} + 2z\,\frac{dz}{dx} = 0
Dividindo por 2, obtemos
x + y\,y' + z\,z' = 0,
onde escrevemos y'=\frac{dy}{dx} e z'=\frac{dz}{dx}.

Passo 3

Diferenciando implicitamente a segunda equação em relação a x, temos
\frac{d}{dx}(x+y+z)=0
Logo,
1 + y' + z' = 0
ou seja
y' + z' = -1.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema linear em y'\) e \(z'\): \[\begin{cases} y\,y' + z\,z' = -x,\\\ y' + z' = -1. \end{cases}
Da segunda equação z' = -1 - y'\]. Substituindo na primeira: \[y\,y' + z(-1 - y') = -x \quad\Longrightarrow\quad (y - z)\,y' = z - x.\] Logo \[y' = \frac{z - x}{y - z}.\] Para \(z' usamos z' = -1 - y', ficando
z' = -1 - \frac{z - x}{y - z} = \frac{(x - y)}{y - z}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{z - x}{y - z}, \qquad \frac{dz}{dx} = \frac{x - y}{y - z}.

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