Sejam
e
duas funções definidas de
em
, com
, tais que
é par e
é impar.
a. Provar que se
é crescente (resp. decresente) em
é decrescente (resp. crescente) em
.
b. Provar que se
é crescente (resp. decresente) em
é crescente (resp. decrescente) em
.
a. Provar que se
b. Provar que se
Passo 1
O enunciado pede para explorar a paridade de
(par) e de
(ímpar) junto com a monotonicidade em
para estender ou inverter essa monotonicidade em outras partes do intervalo
. Vamos usar definição de função par (
), de função ímpar (
) e a definição de crescente/decrescente.
Passo 2
Para a) suponha que
é par e crescente em
. Para mostrar que
é decrescente em
, tomemos
. Então
e como ambos estão em
, a monotonicidade em
diz
. Usando paridade:
e
, segue
, isto é,
é decrescente em
.
Ainda em a), se
for decrescente em
, o mesmo raciocínio se inverte: para
teremos
e assim
, mostrando que
é crescente em
.
Passo 3
Para b) suponha que
é ímpar e crescente em
. Queremos que para quaisquer
em
valha
. Dividimos em casos:
- Se
, já vem da crescente em . - Se
, escreva , então . Daí e pela ímparidade , segue . - Se
, então e pela ímparidade e crescente em , logo .
Assimé crescente em .
Para o caso decrescente de b) basta repetir o argumento acima trocando todas as desigualdades de sentido. Com isso, concluímos que se
é decrescente em
, então
é decrescente em
.
Resposta
a) Se
é par e crescente em
, então
é decrescente em
; se
é decrescente em
, então
é crescente em
.
b) Se é ímpar e crescente em
, então
é crescente em
; se
é decrescente em
, então
é decrescente em
.
b) Se