Sejam f e g duas funções definidas de [-a, a] em R, com a>0, tais que f é par e g é impar.
a. Provar que se f é crescente (resp. decresente) em [0, a], f é decrescente (resp. crescente) em [-a, 0].
b. Provar que se g é crescente (resp. decresente) em [0, a], g é crescente (resp. decrescente) em [-a, a].

Passo 1

O enunciado pede para explorar a paridade de f (par) e de g (ímpar) junto com a monotonicidade em [0,a] para estender ou inverter essa monotonicidade em outras partes do intervalo [-a,a]. Vamos usar definição de função par ( f(-x)=f(x)), de função ímpar ( g(-x)=-g(x)) e a definição de crescente/decrescente.

Passo 2

Para a) suponha que f é par e crescente em [0,a]. Para mostrar que f é decrescente em [-a,0], tomemos x1. Então -x2< -x1 e como ambos estão em [0,a], a monotonicidade em [0,a] diz f(-x2)<= f(-x1). Usando paridade: f(x2)=f(-x2) e f(x1)=f(-x1), segue f(x2)<= f(x1), isto é, f é decrescente em [-a,0].
Ainda em a), se f for decrescente em [0,a], o mesmo raciocínio se inverte: para x1 teremos f(-x2)>= f(-x1) e assim f(x2)>= f(x1), mostrando que f é crescente em [-a,0].

Passo 3

Para b) suponha que g é ímpar e crescente em [0,a]. Queremos que para quaisquer y1 em [-a,a] valha g(y1)<= g(y2). Dividimos em casos:
  • Se 0<= y1, já vem da crescente em [0,a].
  • Se -a<= y1, escreva ui=-yi, então 0<= u2. Daí g(u2)<= g(u1) e pela ímparidade g(yi)=-g(ui), segue g(y1)=-g(u1)<= -g(u2)=g(y2).
  • Se y1<0, então g(y1)<=0 e g(y2)>=0 pela ímparidade e crescente em [0,a], logo g(y1)<= g(y2).
    Assim g é crescente em [-a,a].
Para o caso decrescente de b) basta repetir o argumento acima trocando todas as desigualdades de sentido. Com isso, concluímos que se g é decrescente em [0,a], então g é decrescente em [-a,a].

Resposta

a) Se f é par e crescente em [0,a], então f é decrescente em [-a,0]; se f é decrescente em [0,a], então f é crescente em [-a,0].
b) Se g é ímpar e crescente em [0,a], então g é crescente em [-a,a]; se g é decrescente em [0,a], então g é decrescente em [-a,a].

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