Escreva as equações das esferas na forma (x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=r^2 para obter o centro C(x0, y0, z0) e o raio r de cada uma delas:
(a) x^2+y^2+z^2-6 x+4 y-2 z=11
(c) x^2+y^2+z^2-6 y-8 z=0
(b) x^2+y^2+z^2-6 x+y-2 z+254=0
(d) 3 x^2+3 y^2+3 z^2+2 y-2 z=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa reescrever as equações das esferas na forma padrão (x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2 para identificar o centro C(x0, y0, z0) e o raio r de cada esfera. Para isso, vamos completar o quadrado em cada uma das variáveis x, y e z.

Passo 2

Parte (a): x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 4y - 2z = 11
Primeiro, vamos organizar os termos por variável:
x^2 - 6x + y^2 + 4y + z^2 - 2z = 11
Agora, completamos o quadrado para cada variável.
Para x:
x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9
Para y:
y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4
Para z:
z^2 - 2z = (z - 1)^2 - 1
Substituindo de volta na equação:
(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 1)^2 - 1 = 11
Somando os constantes:
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 - 14 = 11
Isolando os termos quadrados:
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 25

Passo 3

Parte (b): x^2 + y^2 + z^2 - 6x + y - 2z + 254 = 0
Vamos reorganizar:
x^2 - 6x + y^2 + y + z^2 - 2z = -254
Completando o quadrado:
Para x:
x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9
Para y:
y^2 + y = (y + 12)^2 - 14
Para z:
z^2 - 2z = (z - 1)^2 - 1
Substituindo:
(x - 3)^2 - 9 + (y + 12)^2 - 14 + (z - 1)^2 - 1 = -254
Somando as constantes:
(x - 3)^2 + (y + 12)^2 + (z - 1)^2 - 454 = -254
Isolando os termos quadrados:
(x - 3)^2 + (y + 12)^2 + (z - 1)^2 = 204 = 5

Passo 4

Parte (c): x^2 + y^2 + z^2 - 6y - 8z = 0
Reorganizando:
x^2 + y^2 - 6y + z^2 - 8z = 0
Completando o quadrado:
Para y:
y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9
Para z:
z^2 - 8z = (z - 4)^2 - 16
Substituindo:
x^2 + (y - 3)^2 - 9 + (z - 4)^2 - 16 = 0
Somando as constantes:
x^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2 - 25 = 0
Isolando os termos quadrados:
x^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2 = 25
Note que x^2 pode ser escrito como (x - 0)^2.

Passo 5

Parte (d): 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 + 2y - 2z = 9
Primeiro, vamos simplificar dividindo todos os termos por 3:
x^2 + y^2 + z^2 + 23y - 23z = 3
Agora, reorganizando:
x^2 + y^2 + 23y + z^2 - 23z = 3
Completando o quadrado:
Para y:
y^2 + 23y = (y + 13)^2 - 19
Para z:
z^2 - 23z = (z - 13)^2 - 19
Substituindo:
x^2 + (y + 13)^2 - 19 + (z - 13)^2 - 19 = 3
Somando as constantes:
x^2 + (y + 13)^2 + (z - 13)^2 - 29 = 3
Isolando os termos quadrados:
x^2 + (y + 13)^2 + (z - 13)^2 = 299
E, novamente, x^2 é (x - 0)^2.

Resposta

As equações das esferas na forma padrão (x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2 são:
a) Centro C(3, -2, 1) e raio r = 5.
b) Centro C(3, -12, 1) e raio r = raiz5.
c) Centro C(0, 3, 4) e raio r = 5.
d) Centro C(0, -13, 13) e raio r = raiz293.

Exercícios relacionados