Use o teste da razão para verificar se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série usando o teste da razão. O conteúdo envolvido é séries numéricas e, em particular, o teste da razão. Vamos precisar definir o termo geral e calcular .
Passo 2
Definimos o termo geral da série como
an = (-1)^n-1n!
O teste da razão diz que, se rho = limntoinfty | an+1an | ,,
e rho < 1, então a série converge absolutamente (logo converge).
Passo 3
Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
| an+1an | = | (-1)^n/(n+1)!(-1)^n-1/n! | = 1n+1
Passo 4
Agora tiramos o limite quando ntoinfty:
rho = limntoinfty 1n+1 = 0 < 1
Como rho<1, a série converge absolutamente e, portanto, converge.
Resposta
A série converge (convergência absoluta pelo teste da razão).