Use o teste da razão para verificar se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty e^-n n !

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos usar o teste da razão para analisar a convergência da série sumn=1^infty n e^-n. O conteúdo envolve séries numéricas e o teste da razão, que exige calcular o limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 2

No teste da razão, definimos an = n e^-n e calculamos a razão an+1an. Substituindo na expressão, temos:
an+1an = (n+1)e^-(n+1)n e^-n = n+1n ; e^-1

Passo 3

Agora avaliamos o limite dessa razão quando n to infty:
L = limntoinfty n+1n , e^-1 = l(limntoinfty n+1nr) , e^-1 = 1 cdot e^-1 = e^-1

Passo 4

Como e^-1 < 1, o teste da razão nos garante que a série converge absolutamente. Portanto, a série sumn=1^infty n e^-n converge.

Resposta

A série converge absolutamente pelo teste da razão, pois o limite da razão é e^-1 < 1.

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