Encontre todos os possíveis valores de ointC (x+y) d x+(y-x) d yx^2+y^2, onde C é uma curva simples fechada que não passa pela origem. (Resp.: -2 pi, 2 pi, 0.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointC(x+y),dx+(y-x),dyx^2+y^2,
onde C é uma curva simples fechada que não passa pela origem.
O conteúdo que vamos usar envolve decompor o integrando em uma parte exata e uma parte que mede o ângulo (winding number) da curva em torno da origem.

Passo 2

Escrevemos o 1–forma como soma de duas:
(x+y),dx+(y-x),dyx^2+y^2 =x,dx+y,dyx^2+y^2 +y,dx-x,dyx^2+y^2
Reconhecemos que
x,dx+y,dyx^2+y^2=dl(ln rr), r=raizx^2+y^2,
e que
y,dx-x,dyx^2+y^2 =-,dtheta,
onde theta é o ângulo polar. Logo
(x+y),dx+(y-x),dyx^2+y^2 =d(ln r),-,dtheta

Passo 3

Fazendo a integral em C obtemos
ointCd(ln r)=0 e ointCdtheta =2pi,n,
onde n é o índice (winding number) de C em torno da origem. Portanto
ointC(x+y),dx+(y-x),dyx^2+y^2 =-ointCdtheta =-2pi,n

Passo 4

Como C é uma curva simples fechada que não passa pela origem, seu índice n só pode ser
;0 (não envolve a origem),
;1 (envolve no sentido anti-horário)
ou -1 (envolve no sentido horário).
Isso dá os valores possíveis
-2picdot 0=0, -2picdot1=-2pi, -2picdot(-1)=2pi

Resposta

-2pi,;2pi,;0

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