Encontre todos os possíveis valores de
, onde
é uma curva simples fechada que não passa pela origem. (Resp.:
.)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é uma curva simples fechada que não passa pela origem.
O conteúdo que vamos usar envolve decompor o integrando em uma parte exata e uma parte que mede o ângulo (winding number) da curva em torno da origem.
O conteúdo que vamos usar envolve decompor o integrando em uma parte exata e uma parte que mede o ângulo (winding number) da curva em torno da origem.
Passo 2
Escrevemos o
–forma como soma de duas:
Reconhecemos que
e que
onde
é o ângulo polar. Logo
Passo 3
Fazendo a integral em
obtemos
onde
é o índice (winding number) de
em torno da origem. Portanto
Passo 4
Como
é uma curva simples fechada que não passa pela origem, seu índice
só pode ser
(não envolve a origem),
(envolve no sentido anti-horário)
ou (envolve no sentido horário).
Isso dá os valores possíveis
ou
Isso dá os valores possíveis