Encontre todos os tipos de equações da reta r que passa pelos pontos (1,2,3) e (-1,-2,-3). Verifique se os pontos P=(-2,-4,-6) e Q=(0,0,1) pertencem a reta r.

Passo 1

O enunciado pede todas as formas usuais de representar a reta r que passa pelos pontos (1,2,3) e (-1,-2,-3) em R^3. Vamos precisar de um vetor diretor obtido pela diferença entre esses dois pontos e, a partir dele, montar a forma vetorial, a forma paramétrica, a forma simétrica e a forma cartesiana (interseção de dois planos). Por fim, vamos testar se os pontos P=(-2,-4,-6) e Q=(0,0,1) pertencem a r.

Passo 2

Calculemos o vetor diretor vec d subtraindo coordenada a coordenada:
vec d = (1,-(-1),,2-(-2),,3-(-3)) = (2,4,6)
Podemos simplificar vec d por ,2, obtendo
vec d = (1,2,3)

Passo 3

A partir de um ponto qualquer da reta (por exemplo A=(1,2,3)) e do vetor diretor vec d=(1,2,3), temos:
Forma vetorial
vec r(t) = (1,2,3) + t,(1,2,3), tin R
Forma paramétrica
x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = 3 + 3t

Passo 4

Da forma paramétrica podemos isolar t e obter a forma simétrica:
x-11 ;=;y-22;=;z-33
Para a forma cartesiana (interseção de dois planos), escolhemos dois vetores normais a vec d. Por exemplo,
;n1=(2,-1,0) e ;n2=(3,0,-1), pois
n1cdot d = 2cdot1 + (-1)cdot2 + 0cdot3 = 0, n2cdot d = 3cdot1 + 0cdot2 + (-1)cdot3 = 0
As equações dos planos que contêm r são então
2x - y = 2cdot1 - 2 = 0, 3x - z = 3cdot1 - 3 = 0
Logo, em forma cartesiana:
2x - y = 0, 3x - z = 0

Passo 5

Verificação de pertencimento:
Para P=(-2,-4,-6):
2(-2)-(-4)= -4+4=0, 3(-2)-(-6)= -6+6=0,
logo P satisfaz ambas as equações cartesianas e pertence a r.
Para Q=(0,0,1):
2cdot0-0=0, 3cdot0-1=-1neq0,
logo Q não satisfaz a segunda equação e não pertence a r.

Resposta

As equações da reta [r) são:
Forma vetorial:
Forma paramétrica:
Forma simétrica:
Forma cartesiana (interseção de dois planos):
O ponto e o ponto não pertence a .

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