Encontre todos os tipos de equações da reta r que passa pelos pontos e . Verifique se os pontos e pertencem a reta r.
Passo 1
O enunciado pede todas as formas usuais de representar a reta que passa pelos pontos e em . Vamos precisar de um vetor diretor obtido pela diferença entre esses dois pontos e, a partir dele, montar a forma vetorial, a forma paramétrica, a forma simétrica e a forma cartesiana (interseção de dois planos). Por fim, vamos testar se os pontos e pertencem a .
Passo 2
Calculemos o vetor diretor subtraindo coordenada a coordenada:
Podemos simplificar por , obtendo
Passo 3
A partir de um ponto qualquer da reta (por exemplo ) e do vetor diretor , temos:
Forma vetorial
Forma paramétrica
Passo 4
Da forma paramétrica podemos isolar t e obter a forma simétrica:
x-11 ;=;y-22;=;z-33
Para a forma cartesiana (interseção de dois planos), escolhemos dois vetores normais a vec d. Por exemplo, ;n1=(2,-1,0) e ;n2=(3,0,-1), pois
n1cdot d = 2cdot1 + (-1)cdot2 + 0cdot3 = 0, n2cdot d = 3cdot1 + 0cdot2 + (-1)cdot3 = 0
As equações dos planos que contêm r são então
2x - y = 2cdot1 - 2 = 0, 3x - z = 3cdot1 - 3 = 0
Logo, em forma cartesiana:
2x - y = 0, 3x - z = 0
Passo 5
Verificação de pertencimento:
Para P=(-2,-4,-6):
2(-2)-(-4)= -4+4=0, 3(-2)-(-6)= -6+6=0,
logo P satisfaz ambas as equações cartesianas e pertence a r.
Para Q=(0,0,1):
2cdot0-0=0, 3cdot0-1=-1neq0,
logo Q não satisfaz a segunda equação e não pertence a r.