Sempre haverá ângulo entre duas retas?

Passo 1

O enunciado pergunta se sempre faz sentido falar em “ângulo entre duas retas”. O conteúdo aqui é geometria analítica: vamos representar cada reta por um vetor diretor e depois ver como definimos o ângulo entre esses vetores para obter o ângulo entre as retas.

Passo 2

Qualquer reta não vertical pode ser descrita por um vetor diretor vec uneqvec 0 (e o mesmo para outra reta com vetor vec vneqvec 0). Para definir o ângulo theta entre as duas retas, basta olhar para o ângulo entre esses vetores diretores.
O produto escalar de dois vetores em R^2 ou R^3 satisfaz
vec ucdotvec v=|vec u|;|vec v|costheta
Isolando theta, temos
theta=arccos!gl(l|vec ucdotvec vr||vec u|;|vec v|gr),
onde usamos valor absoluto para garantir que thetain[0,tfracpi2], ou se preferirmos thetain[0,pi] sem o valor absoluto.

Passo 3

Vejamos os casos especiais:
– Se as retas são paralelas (ou coincidentes), então vec u e vec v são múltiplos um do outro e theta=0.
– Se as retas são perpendiculares, então vec ucdotvec v=0 e theta=tfracpi2.
– Se as retas formam outro ângulo oblíquo, a fórmula acima dá um theta entre 0 e tfracpi2 (ou entre 0 e pi sem valor absoluto).
No espaço ( R^3), mesmo que as retas não se cruzem (“skew lines”), o ângulo entre diretores ainda está bem definido.
Como todo vetor diretor é não nulo e o cosseno inverso está sempre definido para valores em [-1,1], concluímos que para qualquer par de retas (no plano ou no espaço) existe um ângulo theta bem definido.

Resposta

Sim. Entre duas retas quaisquer sempre existe um ângulo bem definido, dado pela fórmula
theta=arccos!gl(l|vec ucdotvec vr||vec u|;|vec v|gr)

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