Encontre todos os valores do escalar para os quais os vetores e sejam ortogonais, sendo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar todos os valores do escalar k para os quais os vetores u e v são ortogonais. A matéria envolvida aqui é álgebra vetorial, especificamente o conceito de vetores ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de ortogonalidade, que envolve o produto escalar dos vetores.
Passo 2
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero. Então, precisamos calcular o produto escalar de u e v e igualar a zero.
Passo 3
Vamos escrever os vetores u e v :
u = 1 -1 2, v = k^2 k -3
Passo 4
Calculamos o produto escalar u cdot v :
u cdot v = (1)(k^2) + (-1)(k) + (2)(-3) = k^2 - k - 6
Passo 5
Igualamos o produto escalar a zero para encontrar k :
k^2 - k - 6 = 0
Passo 6
Resolvemos a equação quadrática:
k = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm raiz252 = 1 pm 52
Isso nos dá duas soluções:
k = 1 + 52 = 3 e k = 1 - 52 = -2
Resposta
Os valores de k que tornam os vetores u e v ortogonais são k = 3 e k = -2 .