Sejam u=(2,-1) e v=(-3,0), determine t de modo :
3 t-(4 u-2 v)=5(-t+12 u-34 v)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u = (2, -1) e v = (-3, 0), e precisamos encontrar o vetor t que satisfaz a equação:
3 t - (4 u - 2 v) = 5(-t + 12 u - 34 v)
Vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial, como operações com vetores e resolução de equações para encontrar t.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar ambos os lados da equação, distribuindo os coeficientes que estão multiplicando os vetores.
No lado esquerdo:
3 t - (4 u - 2 v) = 3 t - 4 u + 2 v
No lado direito, distribuímos o 5:
5(-t + 12 u - 34 v) = -5 t + 52 u - 154 v
Então, nossa equação fica:
3 t - 4 u + 2 v = -5 t + 52 u - 154 v

Passo 3

Agora, vamos juntar os termos que contêm t de um lado e os demais termos do outro lado da equação. Isso facilita na hora de resolver para t.
Adicionando 5 t em ambos os lados:
3 t + 5 t - 4 u + 2 v = 52 u - 154 v
Simplificando:
8 t - 4 u + 2 v = 52 u - 154 v

Passo 4

Vamos isolar 8 t e mover os termos com u e v para o outro lado:
8 t = 52 u - 154 v + 4 u - 2 v
Agora, somamos os termos semelhantes:
Para u:
52 u + 4 u = 52 u + 82 u = 132 u
Para v:
-154 v - 2 v = -154 v - 84 v = -234 v
Então:
8 t = 132 u - 234 v

Passo 5

Para encontrar t, dividimos ambos os lados por 8:
t = 18 ( 132 u - 234 v )
Simplificando as frações:
t = 1316 u - 2332 v
Agora, substituímos os valores de u e v:
t = 1316 (2, -1) - 2332 (-3, 0)
Calculando cada componente:
Para a primeira componente:
1316 times 2 - 2332 times (-3) = 2616 + 6932 = 5232 + 6932 = 12132
Para a segunda componente:
1316 times (-1) - 2332 times 0 = -1316 + 0 = -1316

Resposta

O vetor t é igual a ( dfrac12132,, -dfrac1316 ).

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